Représentation des états

Tout état $\Psi$ de la particule sera repéré sur cette base :

$$\mid \Psi>=\mathbf{1}\,\mid \Psi>=\int\int\int_{-\infty}^{+\infty}\,\mid x,y,z>\, dx\,dy\,dz\,<x,y,z\mid \Psi>$$

par ses composantes $\Psi(x,y,z)$ , qui constituent la fonction d'onde représentative, dont le carré du module, comme nous l'avons déjà remarqué, est égal à la densité de probabilité de localisation de la particule :

$$\mathcal{P}rob\,(\vec{M}\,\in\,dV)=\begin{array}{\vert c\vert}\Psi(x,y,z)\\ \end{array}^{~2}\,dV$$

Question 3-19 : Soit, dans un espace à une dimension, une particule dont l'état $\Psi$ est représenté par la fonction d'onde :

$$\Psi(x)=N\,\frac{ e^{\frac{i}{\hbar}\,p_0\,x} }{ \sqrt{x^2+a^2} }$$

$a$ , $p_0$ et $N$ désignant trois constantes réelles.

$\imath-$ Déterminez $N$ pour que $\mid \Psi>$ soit normé.

$\imath\imath-$ On mesure la position de la particule. Quelle est la probabilité pour que le résultat soit compris entre $-\frac{a}{\sqrt{3}}$ et $\frac{a}{\sqrt{3}}$ ?

$\imath\imath\imath-$ Quelle est la valeur moyenne de l'impulsion de la particule dans l'état $\Psi$ ?

Le vecteur bra $<\Psi\mid$ est représenté par la fonction d'onde complexe conjuguée :

$$<\Psi\mid =<\Psi\mid \,\mathbf{1}=\int\int\int_{-\infty}^{+\infty}\,<\Psi\mid x,y,z>\, dx\,dy\,dz\,<x,y,z\mid$$

avec :

$$<\Psi\mid x,y,z>=<x,y,z\mid \Psi>^*=\Psi^*(x,y,z)$$

tandis qu'un produit scalaire est repésenté par une intégrale de recouvrement :

$$<\varphi\mid \Psi>=<\varphi\mid \,\mathbf{1}\,\mid \Psi>= \int\int\int_{-\infty}^{+\infty}\,\varphi^*(x,y,z)\,\Psi(x,y,z)\,dx\,dy\,dz$$

Puisque tout ket $\mid \Psi>$ est parfaitement défini par sa fonction d'onde représentative, nous pourrons dans la suite abandonner les notations de Dirac et remplacer la notion vecteur ket $\mid \Psi>$ par la notion fonction d'onde $\Psi(x,y,z)$ :

$$\mid \Psi>~~~~~~~~\longrightarrow~~~~~~~~\Psi(x,y,z)$$

Il faut alors préciser la nouvelle notation concernant les observables.