Représentation des observables

Considérons d'abord l'une, par exemple $X$ , des observables de base. L'opérateur $X$ agissant sur un vecteur ket $\mid \Psi>$ le transforme en un autre vecteur $X\,\mid \Psi>$ , dont il s'agit de déterminer la fonction d'onde. à savoir :

$$<x,y,z\mid \,X\,\mid \Psi>=x\,<x,y,z\mid \Psi>=x\,\Psi(x,y,z)$$

de telle sorte que, dans les cas simples, les règles de transcription des notations de Dirac dans la représentation de Schrödinger, s'écrivent par exemple :

$$\begin{array}{ccc} X\,\mid \Psi> & ~~~~~~\longrightarrow~~~~~... ...~~\longrightarrow~~~~~~ & V(x,y,z)\,\Psi(x,y,z) \\ \end{array}$$

Considérons maintenant les observables $P_x,~P_y,~P_z$ composantes de l'impulsion de la particule. Il s'agit de déterminer la transcription :

$$P_x\,\mid \Psi>~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathcal{P}_x\,\Psi(x,y,z)$$

$\mathcal{P}_x$ désignant un opérateur fonctionnel, agissant sur la fonction $\Psi(x,y,z)$ . A cet effet, il y a lieu de se souvenir que l'opérateur $P_x$ est le générateur des translations le long de l'axe $O\vec{x}$ et transforme un état $\Psi$ représenté par le ket $\mid \Psi>$ ``chez Dirac'', ou la fronction d'onde $\Psi(x,y,z)$ ``chez Schrödinger '' en un ket $\mid \Psi>_d$ ou une fonction d'onde $\Psi_d(x,y,z)$ de telle sorte que l'opérateur de déplacement peut sécrire des deux manières suivantes, et ceci pour une translation infinitésimale :

$$\begin{array}{ccccc} \mid \Psi>_d & = & \mathcal{D}_x(\delta ... ... x\,\frac{\partial}{\partial x}\,)\,\Psi(x,y,z) \\ \end{array}$$

En comparant les deux seconds membres on en déduit immédiatement la règle de transcription cherchée :

$$P_x\,\mid \Psi>~~~~~~~~\longrightarrow~~~~~~~~ \frac{\hbar}{i}\,\frac{\partial}{\partial x}\,\Psi(x,y,z)$$

$\mathcal{P}_x ~=~ \scalebox{1.4}{$\frac{\hbar}{i}$}\,\scalebox{1.4}{$\frac{\partial}{\partial x}$}$

et plus généralement, en notation vectorielle symbolique :

$$\begin{array}{ccc} \vec{P}\,\mid \Psi> & ~~~~~~\longrightarro... ...htarrow~~~~~~ & -{\hbar}^2\,\Delta\,\Psi(x,y,z) \\ \end{array}$$

Question 3-20 : En utilisant la représentation de Schrödinger des opérateurs, démontrez :

$$[X,P_x]=i\,\hbar~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~[P_x,V(X,Y,Z)]~~~\longrightarrow~~~ \frac{\hbar}{i}\,\frac{\partial}{\partial x}\,V(x,y,z)$$

L'expression de toutes les autres observables, fonctions des variables de position et d'impulsion, en résulte immédiatement, et par exemple pour l'énergie totale de la particule, plongée dans un champ de potentiel, tel que son énergie potentielle s'écrit :

Energie	Classique	Dirac	Schrödinger
Cinétique	$\scalebox{1.4}{$\frac{1}{2}$}\,m\vec{v}^{\,2}~=~\scalebox{1.4}{$\frac{\vec{p}^{\,2}}{2m}$}$	$\scalebox{1.4}{$\frac{\vec{P}^2}{2m}$}$	$-\scalebox{1.4}{$\frac{\hbar^2}{2m}$}\,\Delta$
Potentielle	$V(x,y,z)$	$V(X,Y,Z)$	$V(x,y,z)$

d'où résulte pour l'énergie totale :

$H~=~\scalebox{1.4}{$\frac{\vec{P}^2}{2m}$}+V(X,Y,Z)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$

$H~=~-\scalebox{1.4}{$\frac{\hbar^2}{2m}$}\,\Delta+V(x,y,z)$

L'observable énergie $H$ , écrite à la manière de Hamilton s'appelle le hamiltonien.