Particules de spin nul

Supposons que chaque état de cette particule puisse être caractérisé par une seule fonction d'onde :

$$\Psi(x,y,z)~~~~~~~~\mathrm{ou}~~~~~~~~\Psi(r,\theta,\varphi)$$ $$\left\lbrace \begin{array}{ccc} x & = & r\,\sin\theta\,\cos\v... ...varphi \\ & & \\ z & = & r\,\cos\theta \\ \end{array}\right.$$    Dans la rotation infinitésimale $R_z(\varepsilon)$ d'axe $Oz$ et d'angle $\varepsilon$ l'état est transformé comme suit :

$$\Psi(r,\theta,\varphi)~~~~~~~~\longrightarrow~~~~~~ \mathcal{R}\,\Psi(r,\theta,\varphi)=\Psi(r,\theta,\varphi-\varepsilon)$$

et en développant le second membre :

$$\mathcal{R}\,\Psi(r,\theta,\varphi)=\Psi-\varepsilon\, \frac{\par... ...thbf{1}-\varepsilon\,\frac{\partial}{\partial\varphi})\, \Psi(r,\theta,\varphi)$$

En comparant avec l'expression de $\mathcal{R}$ , qui définit le moment angulaire total de ce système, on en déduit :

$$\mathcal{R}_z(\varepsilon)\,\Psi= (\mathbf{1}-\frac{i}{\hbar}\,\v... ...n\,J_z)\,\Psi= (\mathbf{1}-\varepsilon\,\frac{\partial}{\partial\varphi})\,\Psi$$

d'où :

$$J_z=\frac{\hbar}{i}\,\frac{\partial}{\partial\varphi}$$

Cette expression est celle de $J_z$ , dans la représentation de Schrödinger, que nous avons choisie ici, en représentant l'état de la particule par sa fonction d'onde.

Toutefois, il y a lieu de remarquer que, conformément aux règles de changement de variables :

$$\frac{\partial}{\partial\varphi}=\partial_\varphi= \frac{\partial... ...y+ \frac{\partial z}{\partial\varphi}\,\partial_z= -y\,\partial_x+x\,\partial_y$$

d'où :

$$J_z=\frac{\hbar}{i}\,\partial_\varphi= \frac{\hbar}{i}\,(x\,\partial_y-y\,\partial_x)= x\,\mathcal{P}_y-y\,\mathcal{P}_x=\ell_z$$

et plus généralement dans toute représentation :

$$\begin{array}{\vert c\vert}\hline { }\\ ~~J_z~=~X\,P_y-Y\,P_x=L_z~~\\ { }\\ \hline \end{array}$$

Dans ce cas particulièrement simple, le moment angulaire total $\vec{J}$ du système se réduit au simple moment orbital $\vec{L}$ . On dit que le système a un spin nul ou n'a pas de spin.