Particules de spin 1

Considérons maintenant un système dont chaque état ne peut pas être caractérisé par une seule fonction d'onde, mais par trois fonctions d'onde du type de la précédente et dont chacune est associée à une des trois directions $x,~y,~z$ d'un trièdre de référence :

$$\Psi_x(x,y,z)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\Psi_y(x,y,z)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\Psi_z(x,y,z)$$

Supposons de plus, que ces trois composantes de l'état physique considéré, se transforment dans les rotations comme les trois composantes d'un vecteur.

Le système précédent pourrait être par exemple le champ magnétique ou le champ électrique. Il peut également comme nous allons le voir être une particule, mais cette particule est alors d'une nature plus complexe que celle considérée précédemment, puisque cette particule possède maintenant une sorte d'orientation intrinsèque dans l'espace.

Considérons, encore ici, la rotation particulière infinitésimale $R_z(\varepsilon)$ : $$\Psi~~~~~~\longrightarrow~~~~~~\mathcal{R}_z(\varepsilon)\,\Psi=\Psi^\prime$$ et puisque, par hypothèse, $\Psi$ se transforme comme un vecteur :

$$\begin{array}{ccl} \Psi^\prime_x(r,\theta,\varphi) & = & \Psi... ...phi) & = & \Psi_z(r,\theta,\varphi-\varepsilon) \\ \end{array}$$

En développant au premier ordre en $\varepsilon$ seulement, et tenu compte des résultats précédents :

$$\begin{array}{ccl} \Psi^\prime_x(r,\theta,\varphi) & = & (\ma... ...{1}-\frac{i}{\hbar}\,\varepsilon\,\ell_z)\Psi_z \\ \end{array}$$

que l'on peut encore écrire symboliquement :

$$\vec{\Psi}^\prime= \left[\mathbf{1}-\frac{i}{\hbar}\,\varepsilon\,(\ell_z+S_z)\right]\,\vec{\Psi}$$

$S_z$ désignant une matrice telle que :

$$S_z\,\left( \begin{array}{c} \Psi_x \\ \Psi_y \\ \Psi_z \\ \e... ...in{array}{c} -i\,\Psi_y \\ i\,\Psi_x \\ 0 \\ \end{array}\right)$$

Ainsi $S_z$ transforme chaque composante en un point donné, en une combinaison linéaire particulière des trois composantes au même point. Le vecteur $\Psi$ étant défini par ses trois composantes cartésiennes $\Psi_i$ avec $i=(x,y,z)=(1,2,3)$ l'opérateur $S_z$ est représenté par la matrice :

$$S_z=\hbar\,\left( \begin{array}{ccc} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array}\right)$$

On définirait de même les opérateurs $S_x$ et $S_y$ associés aux rotations d'axes $x$ et $y$ et on obtiendrait alors :

$$S_x=\hbar\,\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i \\ 0 ... ...t(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & i \\ 0 & 0 & 0 \\ -i & 0 & 0 \\ \end{array}\right)$$

La comparaison du résultat obtenu avec l'expression générale de l'opérateur de rotation, qui définit le moment angulaire total du système :

$$\Psi^\prime=\left(\mathbf{1}-\frac{i}{\hbar}\,\varepsilon\,(J_z)\right)\,\Psi$$

indique l'expression de $J_z$ dans une représentation quelconque :

$$J_z=L_z+S_z$$

et du moment angulaire total :

$$\vec{J}=\vec{L}+\vec{S}$$

Les composantes $S_x,~S_y,~S_z$ de l'opérateur $\vec{S}$ ayant été données ci-dessus, il est facile de montrer que l'opérateur vectoriel $\vec{S}$ est bien un moment angulaire. En effet on vérifie aisément sur les formes matricielles :

$$[S_x,S_y]=i\,\hbar\,S_z~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~[S_y,S_z]=i\,\hbar\,S_x~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ [S_z,S_x]=i\,\hbar\,S_y$$

et par ailleurs :

$$\vec{S}^2=s\,(s+1)\,\hbar^2=2\,\hbar^2~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathrm{d'o\grave{u}}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~s=1$$

Ainsi, dans le cas particulier du système étudié ici, le moment angulaire total $\vec{J}$ est la somme du moment angulaire orbital déjà défini précédemment $\vec{L}$ et d'un autre moment angulaire intrinsèque $\vec{S}$ que l'on appelle le spin du système. Le système ici considéré, et doté de trois composantes, a un spin égal à 1.

La fonction d'onde d'une particule de spin 1 est donc de la forme :

$$\Psi_i(x,y,z)=\Psi(x,y,z,i)$$

$\Psi$ désignant alors une fonction d'onde dépendant non seulement des variables de position, mais d'un indice $i$ à trois valeurs, qui constitue une sorte de variable interne qui permet de décrire l'orientation dans l'espace de la particule.

Le produit scalaire de deux fonctions de ce type sera de la forme :

$$<\varphi\mid \Psi>=\sum\limits_i\,\int\,\Psi^*(\vec{r},i)\,\varphi(\vec{r},i)\,d^3x$$

Un opérateur tel que $\vec{L}$ agit sur les variables de position seulement, tandis que $\vec{S}$ agit sur la variable interne $i$ seulement. Deux tels opérateurs agissant sur des variables ditinctes commutent toujours.

On remarquera que les vecteurs unitaires $\mid x>~\mid y>~\mid z>$ des axes sont des vecteurs propres de $S_x,~S_y,~S_z$ avec la valeur propre 0 :

$$S_x\,\mid x>=0\,\mid x>~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~S_y\,\mid y>=0\,\mid y>~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ S_z\,\mid z>=0\,\mid z>$$

Sur la base formée de ces vecteurs propres la fonction d'onde se développe comme suit :

$$\mid \Psi>=\Psi_x\,\mid x>+\Psi_y\,\mid y>+\Psi_z\,\mid z>$$

Une base plus traditionnelle consiste à prendre les vecteurs propres de $S_z$ associés aux valeurs propres $+1,~0,~-1$ soit $\mid +>,~\mid 0>,~\mid ->$ :

$$\mid +>=-\frac{1}{\sqrt{2}}\,(\mid x>+i\,\mid y>)~~~~~~~~~~ \mid 0>=\mid z>~~~~~~~~~~ \mid ->=\frac{1}{\sqrt{2}}\,(\mid x>-i\,\mid y>)$$

et sur cette nouvelle base :

$$\mid \Psi>=\Psi_+\,\mid +>+\Psi_0\,\mid 0>+\Psi_-\,\mid ->$$

avec :

$$\begin{array}{ccl} \Psi_+ & = & -\scalebox{1.4}{$\frac{1}{\sq... ...{1.4}{$\frac{1}{\sqrt{2}}$}\,(\Psi_x+i\,\Psi_y) \\ \end{array}$$

On comprend maintenant pourquoi le nombre de composantes est égal à trois quand le spin est égal à 1. En effet, le nombre de composantes indépendantes doit être égal au nombre de dimensions de l'espace de spin, qui est lui-même égal au nombre $2s+1=3$ de valeurs propres distinctes de $S_z$ , dont les vecteurs propres constituent précisément la base.

Question 3-23: Calculez les nouvelles expressions matricielles prises par les opérateurs $S_x,$ $S_y,$ $S_z$ sur la nouvelle base constituée des vecteurs $\mid +>,~\mid 0>,~\mid ->$ . Vérifiez les relations suivantes :

$$\left(\frac{S_x}{\hbar}\right)^3=\frac{S_x}{\hbar}~~~~~~~~~~~~~~~... ...bar}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \left(\frac{S_z}{\hbar}\right)^3=\frac{S_z}{\hbar}$$