Spin et moment angulaire total

Déjà en mécanique classique, le moment cinétique total, en un point $O$ , d'un système matériel, soit $\vec{j}$ peut être décomposé en une somme de deux termes : $$\vec{j}=\vec{\ell}+\vec{s}$$ $\vec{\ell}$ désignant le moment cinétique qu'aurait le système si toute sa masse était concentrée en son centre de gravité et $\vec{s}$ désignant le moment cinétique intrinsèque du système dans son mouvement autour de son centre de gravité.

En mécanique quantique on va retrouver une décomposition mathématique analogue sans que l'interprétation classique, concrète et imagée, qui vient d'être rappelée, puisse demeurer valable. En effet, pour tout système physique, y compris une particule élémentaire on écrira :

$$\begin{array}{\vert c\vert}\hline { }\\ ~~\vec{J}~=~\vec{L}+\vec{S}~~\\ { }\\ \hline \end{array}$$

$\vec{J}$ désignant le moment cinétique total appelé moment angulaire total, $\vec{L}$ désignant le moment orbital et $\vec{S}$ le spin. Ce spin peut difficilement être considéré comme un moment cinétique intrinsèque classique lorsque la particule est ponctuelle.

Par ailleurs, tous ces moments angulaires sont quantifiés et leurs composantes sont des opérateurs hermitiques. Ils n'ont qu'un lointain rapport avec les vecteurs classiques correspondants. Leur représentation par des vecteurs est une faute de notation, puisqu'ils ne se comportent pas comme des vecteurs mathématiques. Ce sont des observables vectorielles.

Conformément à ce qui précède, l'expression quantique du moment angulaire total $\vec{J}$ d'un système se révèle dans la manière dont se transforment les vecteurs kets images des états physiques de ce système, sous l'effet des rotations induites $\mathcal{R}_u(\varphi)$ dans cet espace des états, par les rotations actives $R_u(\varphi)$ appliquées à ce système dans l'espace physique :

$$R_u(\varphi)~~~~~~~~\longrightarrow~~~~~~~~\mathcal{R}_u(\varphi)= e^{-\frac{i}{\hbar}\,\varphi\,J_u}$$

Par définition, les composantes $J_u=\vec{J}.\vec{u}$ de ce moment angulaire total sont les générateurs des rotations induites.

Pour déterminer le moment angulaire total $\vec{J}$ d'un système, il suffit donc d'examiner comment se transforment les états de ce système sous l'effet des rotations actives.

En particulier, pour une rotation infinitésimale autour de l'axe $Oz$ , on devra écrire :

$$\mathcal{R}_z(\varepsilon)= \mathbf{1}-\frac{i}{\hbar}\,\varepsilon\,J_z$$

et cette expression de $\mathcal{R}_z$ définit $J_z$ .