Transformations de Galilée (actives)

Soit deux référentiels galiléens $\Sigma$ et $\Sigma^\prime$ et soit $\vec{v}$ la vitesse relative constante de $\Sigma^\prime$ par rapport à $\Sigma$ .

Les observables $X^\prime,~P^\prime_x,\ldots$ etc et $X,~P_x,\ldots$ etc définies respectivement dans $\Sigma^\prime$ et $\Sigma$ sont liées entre elles par les mêmes relations qui relient entre elles les grandeurs classiques correspondantes. Ces relations sont les transformations de Galilée.

$$\begin{array}{ccccccc} x^\prime &=& x - V\,t & ~~~~~~~~~~\lon... ...athrm{etc} & \longrightarrow & \mathrm{etc} & & \\ \end{array}$$

Il s'agit de déterminer l'opérateur unitaire $G$ qui permet de relier les états et les observables $\mid K>,~A,\ldots$ etc liés à $\Sigma$ , à ceux $\mid K^\prime>,~A^\prime,\ldots$ etc liés à $\Sigma^\prime$ :

$$\mid K^\prime> = G\,\mid K>~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~A^\prime\,=\,G\,A\,G^{-1}$$

Considérons à cet effet une transformation infinitésimale de Galilée dans une direction $x$ donnée :

$$G = \mathbf{1} + V\,g$$

$g$ désignant le générateur infinitésimal de ces transformations. Comme pour les translations et les rotations, ce générateur peut être déterminé à partir de ses relations de commutation avec les observables : $X~Y~Z~P_x~P_y~P_z~\Omega$ du centre de masse du système physique considéré :

$$[g,X] = \frac{X^\prime - X}{V} \,=\, -t$$

$$[g,P_x] = \frac{P_x^\prime - P_x}{V} \,=\, -M$$

$$[g,\Omega] = 0~~~~~~~~~~~~~~~\mathrm{car}~~~\Omega^\prime\,=\,\Omega$$

On en déduit immédiatement que l'opérateur :

$$i\hbar\,g + M\,X -t\,P_x$$

qui commute avec toutes les observables est une constante qui peut être choisie nulle puisque $g$ est défini à une constante additive près imaginaire pure :

$$g(t) = \frac{i}{\hbar}\,(M\,X - t\,P_x)$$

L'expression cherchée de $G$ en résulte par itération :

$$G(V,t) = e^{\frac{i}{\hbar}\,V\,(M\,X - t\,P_x)}$$

et pour une transformation quelconque de Galilée portant sur un système de plusieurs particules :

$$G(\vec{V},t) = e^{\frac{i}{\hbar}\,\vec{V}.\,(M\,\vec{R} - t\,\vec{P})}$$

$\vec{R}$ et $\vec{P}$ désignant la position et l'impulsion du centre de masse du système.