c) Séparation des variables

Un calcul purement algébrique conduit successivement aux résultats suivants :

$$\vec{L}^{\,2} = \sum_k\,L^2_k~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$$

$$\vec{L}^{\,2} = \sum_{i\not=j}\,(x_i\,p_j - x_j\,p_i)^2\,~~~~~~~~~~~$$

$$\vec{L}^{\,2} = \sum_{i\not=j}\,(x_i\,p_j\,x_i\,p_j - x_i\,p_j\,x_j\,p_i)$$

ou encore, tenu compte des relations de commutation :

$$[x_i,p_j] = i\hbar\,\delta_{i,j}$$

$$\vec{L}^{\,2} = \left(\sum_i\,x_i^2\right)\,\left(\sum_j\,x^2_j\right) - \left(\sum_k\,x_k\,p_k\right)^2+ i\hbar\,\sum_i\,x_i\,p_i$$

soit :

$$\vec{L}^{\,2} = \vec{r}^{\,2}\,\vec{p}^{\,2} - (\vec{r}\cdot\vec{p})^2+ i\hbar\,\vec{r}\cdot\vec{p}$$

On remarque :

$$\vec{r}\cdot\vec{p} = r\,\frac{\vec{r}}{r}\,\vec{p} ~=~ \frac{\hbar}{i}\,r\,\frac{\partial}{\partial r} ~=~ r\, p_r + i\hbar$$

$$\begin{array}{ccccc} (\vec{r}\cdot\vec{p})^2 - i\hbar\,\vec{r... ...,p_r + i\hbar\,r\,p_r \\ & & & & \\ &=& r^2\,p^2_r \end{array}$$

d'où finalement :

$$\vec{L}^{\,2} = \vec{r}^2\cdot\vec{p}^2 - r^2\,p_r^2 ~=~ r^2\,(\vec{p}^2 - p_r^2)$$

et donc on en déduit :

$$\begin{array}{\vert c\vert} \hline { } \\ ~~~H ~=~ \scalebox... ...ec{L}^{\,2}}{2m\,r^2}$} + V(r)~~~ \\ { } \\ \hline \end{array}$$

expression du hamiltonien valable partout sauf^III18peut-être pour $r=0$ . Le hamiltonien peut donc s'écrire, comme l'énergie classique, sous la forme d'une somme de trois contributions :

$\imath-$ l'énergie cinétique radiale : $\scalebox{1.4}{$\frac{p_r^2}{2m}$}$

$\imath\imath-$ l'énergie cinétique de rotation : $\scalebox{1.4}{$\frac{\vec{L}^{\,2}}{2m\,r^2}$}$

$\imath\imath\imath-$ l'énergie potentielle : $V(r)$

Nous savons^III19 que les harmoniques sphériques sont fonctions propres communes aux observables $\vec{L}^{\,2}$ et $L_z$ :

$$\vec{L}^{\,2}\,Y^m_l(\theta,\varphi) = l(l+1)\,Y^m_l(\theta,\varphi)$$

$$L_z\,Y^m_l(\theta,\varphi) = m\hbar\,Y^m_l(\theta,\varphi)$$

Les fonctions propres communes aux trois observables qui commutent $\vec{L}^{\,2},~L_z$ et $H$ sont donc de la forme :

$$\Psi^m_l(r,\theta,\varphi) = Y^m_l(\theta,\varphi)\,\varphi^m_l(r)$$

En reportant cette expression dans l'équation aux valeurs propres de $H$ on obtient :

$$H\,\Psi^m_l = \left[ \frac{p_r^2}{2m} + \frac{l(l+1)}{2m\,r^2} + V(r) \right]\,\Psi^m_l ~=~ E\,\Psi^m_l$$

On remarque alors que la fonction radiale $\varphi^m_l(r)$ satisfait une équation où le nombre quantique ``$m$ '' est absent. Elle n'en dépend donc pas :

$$\left(\frac{p_r^2}{2m} + \frac{l(l+1)}{2m\,r^2} + V(r)\right)\,\varphi_l(r) = E\,\varphi_l(r)$$