d) L'équation radiale

L'équation précédente s'appelle l'équation radiale car c'est elle qui détermine la dépendance en $r$ , c'est-à-dire la dépendance radiale de la fonction d'onde.

Si dans cette équation on reporte l'expression de l'opérateur $p_r$ :

$$p_r^2\,\varphi_l = -\hbar^2\,\left(\frac{1}{r}\,\frac{\partial}{\partial r}\,r\right... ...ht)\,\frac{1}{r}\,u_l~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathrm{avec}~~~u_l~=~r\,\varphi_l$$

la fonction $u_l(r)$ satisfait l'équation différentielle du second ordre suivante :

$$\frac{d^2{u}_l(r)}{dr^2} + \left[\varepsilon - W(r) - \frac{l(l+1)}{r^2}\right]\,u_l(r) =$$ 0

après avoir posé :

$$W(r) = \frac{2m}{\hbar^2}\,V(r)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\varepsilon~=~\frac{2m}{\hbar^2}\,E$$

La solution $\varphi_l$ doit être uniforme, continue et bornée partout ainsi que sa dérivée. Donc $u_l$ et sa dérivée doivent également être uniformes, bornées et continues partout et on doit vérifier :

$$u_l(r) = r\,\varphi_l(r)~~\longrightarrow~~0~~~~~~~~\mathrm{quand}~~~~~~~~r~~\longrightarrow~~0$$

Pour une valeur de $l$ bien fixée, l'équation radiale admet en général une infinité de solutions. A chacune de ces solutions correspond une valeur propre $E_n~~(n=1,2,\ldots\infty)$ et on notera $\varphi_{n,l}(r)$ et $u_{n,l}(r)$ les fonctions solutions correspondantes.