Postulat VI (évolution)

Puisque désormais le temps $t$ est pris en compte et puisque l'état $\Psi$ d'un système peut changer avec $t$ , le ket représentatif d'un tel état d'évolution dépendra lui-même du temps et sera noté comme suit :

$$\Psi(t)~~~\Longrightarrow~~~\mid \Psi(t)>$$

Ayant déjà considéré au cours des chapitres 1 et 2 l'effet d'une mesure ou d'une observation sur l'état d'un système, nous considérons maintenant l'effet sur cet état d'une évolution débarrassée de toute observation. Une telle évolution peut être celle d'un système isolé ou libre, mais peut être également celle d'un système soumis à des interactions avec son environnement, par exemple pour une particule chargée avec un champ électrique ou magnétique. Le point important est que le processus considéré ne fournit aucune information expérimentale. En ce sens, on peut dire simplement que l'évolution est spontanée et que le processus lui-même n'est pas observé.

Considérant donc seulement de tels processus temporels, au cours de tout ce chapitre, nous postulerons que l'état $\Psi(t_0)$ du système à un instant $t_0$ détermine son état $\Psi(t)$ à un autre instant $t$ quelconque postérieur ou antérieur^IV1. Ainsi le ket $\mid \Psi(t_0)>$ détermine le ket $\mid \Psi(t)>$ à un facteur numérique près. Il existe donc un opérateur $\mathcal{U}$ qui détermine le changement de direction du ket au cours du temps tel que :

$$\begin{array}{\vert c\vert} \hline \mbox{\rule[-0.4cm]{0cm}{1... ...(t)>=\mathcal{U}(t,t_0)~\mid \Psi(t_0)>$}\\ \hline \end{array}$$

Nous postulerons également que l'évolution spontanée sauvegarde le principe de superposition des états, ce qui signifie :

$$\mathrm{Si}~~~\mid \Psi(t_0)>=\alpha\mid \varphi(t_0)>+\beta\mid \chi(t_0)>$$

les facteurs numériques dont dépendent $\mid \varphi(t)>$ et $\mid \chi(t)>$ peuvent être choisis de telle sorte que :

$$\mid \Psi(t)>=\alpha\mid \varphi(t)>+\beta\mid \chi(t)>$$

soit :

$$\mathcal{U}(t,t_0)\mid \Psi(t_0)>= \alpha~\mathcal{U}(t,t_0)~\mid \varphi(t_0)>+\beta~\mathcal{U}(t,t_0)~\mid \chi(t_0)>$$

ou encore :

$$\mathcal{U}(t,t_0)\left[\alpha\mid \varphi(t_0)>+\beta\mid \chi(t... ...~\mathcal{U}(t,t_0)~\mid \varphi(t_0)>+\beta~\mathcal{U}(t,t_0)~\mid \chi(t_0)>$$

L'opérateur $\mathcal{U}$ est donc un opérateur linéaire qui ne dépend que de $t_0$ et de $t$ :

$$\begin{array}{\vert c\vert} \hline \mbox{\rule[-0.4cm]{0cm}{1cm}$\mathcal{U}~=~\mathcal{U}(t,t_0)$}\\ \hline \end{array}$$

Nous postulerons enfin qu'il est possible de choisir les facteurs numériques dont dépendent les kets $\mid \Psi(t)>$ de telle sorte que :

$$<\Psi(t)\mid \Psi(t)>~=~<\Psi(t_0)\mid \Psi(t_0)>~~~~~~\mathrm{quel~que~soit}~\mid \Psi>$$

Cette hypothèse n'est pas une simple convention. Elle affirme qu'un tel choix, qui précise l'action de l'opérateur $\mathcal{U}$ est possible, sans violer le principe de superposition.

Dès lors, chaque ket $\mid \Psi(t)>$ est défini à un facteur de phase près et commun à tous les kets $\mid \Psi(t)>$ , de manière à sauvegarder le principe de superposition. Enfin, puisque la norme de $\mid \Psi(t)>$ est conservée, quels que soient par ailleurs $\alpha$ et $\beta$ :

$$<\varphi(t)\mid \chi(t)>=<\varphi(t_0)\mid ~\mathcal{U}^\dagger .\mathcal{U}~ \mid \chi(t_0)>=<\varphi(t_0)\mid \chi(t_0)>$$

Il en résulte que l'opérateur $\mathcal{U}$ est un opérateur unitaire défini à un facteur de phase près. Le postulat VI peut alors s'énoncer comme suit :

POSTULAT VI

A tout système physique est associé un opérateur, dit d'évolution, linéaire et unitaire $\mathcal{U}(t,t_0)$ tel que, pour tout état d'évolution $\Psi(t)$ de ce système :

$$\mid \Psi(t)>~=~\mathcal{U}(t,t_0)~\mid \Psi(t_0)>$$

Ainsi l'évolution temporelle spontanée des états d'un système physique est supposée parfaitement déterministe, sans aucune indétermination quantique. L'indétermination quantique se manifeste seulement dans le décodage, c'est-à-dire dans les prévisions concernant les résultats de mesure des observables, faites sur cet état, lui-même parfaitement déterminé.