Equation de Schrödinger

L'expression explicite de l'opérateur $H$ , qui figure au second membre de l'équation d'évolu-tion, peut s'obtenir en remplaçant dans l'expression classique de l'énergie totale, chacune des grandeurs physiques qui y figure par l'observable correspondante. Par exemple, dans le cas particulier d'une particule de masse $m$ plongée dans un champ de forces, qui dérive de la fonction potentielle $V(x,y,z,t)$ :

$$E={{1}\over{2}}\,m\vec{v}^2+V={{\vec{p\,}^2}\over{2m}}+V(x,y,z,t)$$

l'hamiltonien s'écrit alors :

$$H={{\vec{P}^2}\over{2m}}+V(X,Y,Z,t)$$

L'équation d'évolution ainsi obtenue s'appelle l'équation de Schrödinger :

$$i\hbar~\,{{d}\over{dt}}\,\mid \Psi(t)>= \left[{{\vec{P}^2}\over{2m}}+V(X,Y,Z,t)\right]\,\mid \Psi(t)>$$

qui s'écrit encore plus explicitement dans la représentation de Schrödinger :

$$\begin{array}{\vert ccc\vert} \hline & & \\ ~& i\hbar~\,{{\p... ...y,z,t)\right]\,\Psi(x,y,z,t) & ~ \\ & & \\ \hline \end{array}$$

On notera que la dérivée par rapport au temps est devenue une dérivée partielle, en même temps que la fonction d'onde dépendant des variables spatiales $x,y,z$ devenait également fonction du temps.