Remarque 3

L'équation générale d'évolution a été établie ci-dessus, en tirant partie des symétries entre les variables d'espace et de temps, révélées par la théorie de la relativité. Il ne faut donc pas s'étonner, si l'équation obtenue :

$$i\hbar~\,{{d}\over{dt}}\,\mid \Psi(t)>~=~H\,\mid \Psi(t)>$$

est potentiellement relativiste. Elle l'est effectivement (c'est-à-dire invariante dans les transformations de Lorentz) si on remplace $H$ par une expression relativiste de l'énergie du système étudié. Pour une particule, cette expression dépend de la valeur de son spin.

Par exemple, si $s={{1}\over{2}}$ (c'est le cas de l'électron en particulier), Dirac a postulé que l'énergie était une fonction linéaire de l'impulsion $\vec{P}$ et de la masse $m$ :

$$E~=~H~=~c\,\vec{\alpha}.\vec{P}+\beta\,mc^2$$

$\vec{\alpha}$ et $\beta$ désignant des constantes, telles que :

$$E^2~=~H^2~=~c^2\,\vec{P}^2+\,m^2c^4$$

identité relativiste, qui ne peut être satisfaite que si $\vec{\alpha}$ et $\beta$ désignent quatre matrices $4\times 4$ . L'équation ainsi obtenue :

$$i\hbar\,\left(1\,\partial_0+\vec{\alpha}.\vec{\bigtriangledown}-\beta\,mc\right) \Psi(x,y,z,t)=0$$

s'appelle l'équation de Dirac. Les matrices $\vec{\alpha}$ et $\beta$ ne peuvent agir que sur des fonctions d'onde $\Psi(x,y,z,t)$ ayant quatre composantes (vecteurs colonnes). Les deux premières sont celles du spineur $s={{1}\over{2}}$ de la particule (l'électron par exemple). Les deux dernières sont celles d'un second spineur $s={{1}\over{2}}$ qui décrit l'anti-particule qui lui est nécessairement associée (l'anti-électron ou positron).