Opérateur d'évolution

Toute évolution temporelle d'un système, durant un intervalle de temps fini : $\Delta t=t-t_0$ , peut être décomposée en une succession de $n$ évolutions (avec $t_n=t$ ) durant les intervalles de temps partiels :

$$t_{n}-t_{n-1}=t_{n-1}-t_{n-2}=\ldots\,\ldots=t_{1}-t_{0}={{\Delta t}\over{n}}$$

de telle sorte que :

$$\mathcal{U}(t-t_0)=\mathcal{U}(t_n-t_{n-1}).\,\mathcal{U}(t_{n-1}-t_{n-2}) \ldots\,\ldots\,\mathcal{U}(t_1-t_0)$$

et quand $n\rightarrow\infty$ :

$$\mathcal{U}(t-t_0)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left[1-{{i}\o... ...t]\ldots\,\ldots \left[1-{{i}\over{\hbar}}\,{{\Delta t}\over{n}}\,H(t_1)\right]$$

et si l'expression mathématique du hamiltonien $H$ ne dépend pas du temps :

$$\mathcal{U}(t-t_0)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty} \left(1-{{i}\... ...hbar}}\,{{\Delta t}\over{n}}\,H\right)^n= e^{-{{i}\over{\hbar}}\,{\Delta t}\,H}$$

$\mathcal{U}(t-t_0)= e^{\strut-{{i}\over{\hbar}}\,(t-t_0)\,H}\strut$

Cette même équation peut également être obtenue à partir de l'équation d'évolution :

$$i\hbar~\,{{d}\over{dt}}\,\mid \Psi(t)>~=~H(t)\,\mid \Psi(t)>$$

qui s'écrit encore :

$$i\hbar~\,{{d}\over{dt}}\,\mathcal{U}(t-t_0)\,\mid \Psi(t_0)>~=~ H(t)\,\mathcal{U}(t-t_0)\,\mid \Psi(t_0)>$$

quel que soit $\mid \Psi(t_0)>$ , de telle sorte que :

$$i\hbar~\,{{d}\over{dt}}\,\mathcal{U}(t-t_0)~=~ H(t)\,\mathcal{U}(t-t_0)$$

Cette équation s'intègre, et conduit à :

$$\begin{array}{\vert ccc\vert} \hline & & \\ ~ & \mathcal{U}(... ...int_{t_o}^t\,H(t)\,dt}\strut & ~ \\ & & \\ \hline \end{array}$$

Si $H$ ne dépend pas du temps, on retrouve bien l'expression précédente.