Paquet d'ondes planes

Puisqu'ils sont états propres de l'observable énergie, les états ondes planes d'une particule libre constituent une base de représentation. Par ailleurs, puisque l'équation de Schrödinger est linéaire, toute combinaison linéaire de ces états ondes planes sera encore solution de cette équation et s'écrira dans la représentation de Schrödinger :

$$\Psi(\vec{r},t)=h^{-{{3}\over{2}}}\,\int\,\varphi(\vec{p})\, e^{{... ...\pi)^3}}\,\int\varphi^\prime(\vec{k})\, e^{i\,(\vec{k}.\vec{r}-\omega t)}\,d^3k$$

Question 4-3 : Démontrez que la fonction d'onde $\Psi(\vec{r},t)$ satisfait bien l'équation de Schrödinger, mais que dans cet état $\Psi$ , ni la position, ni l'impulsion de la particule, n'ont des valeurs définies.

La fonction d'onde $\Psi$ est bien une somme d'ondes planes. On l'appelle un paquet d'ondes planes. Chacune des ondes a une vitesse de phase $v_\varphi$ .

$$\mathrm{Si}~~~~~~\vec{k}.\vec{r}-\omega t=C^{te}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathrm{alors}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ v_\varphi={{\omega}\over{k}}$$

Avec une loi de dispersion :

$$\omega={{E}\over{\hbar}}={{\vec{p}^2}\over{2m\hbar}}= {{\hbar\vec{k}^2}\over{2m}}$$

d'où :

$$v_\varphi={{1}\over{2}}\,{{\hbar k}\over{m}}$$

et une vitesse de groupe :

$$v_g= \begin{array}{c\vert l} d\omega & \\ \frac{~~~}{~~~} & ... ...ar k_0}\over{m}}={{p_0}\over{m}}=\vec{v}_{\mathrm{\,classique}}$$

$k_0$ désignant la valeur moyenne de $k$ calculée avec la distribution $\varphi^\prime(\vec{k})$ .

Pour simplifier, mais seulement les notations, considérons un paquet d'ondes à une dimension :

$$\Psi(x,t)={{1}\over{\sqrt{h}}}\,\int_{-\infty}^{+\infty}\,\varphi... ...m{avec}~~~~~ \varphi(p)=A(p)\,e^{{{i}\over{\hbar}}\,\theta(p)}\,\in\,\mathbf{C}$$

Supposons que la fonction $A(p)$ soit voisine de zéro, sauf au voisinage de $p=p_0$ , et de largeur $\Delta p$ . Pour que $\Psi(x,t)$ ait une valeur appréciable il faut que, au voisinage de $p=p_0$ et dans l'intervalle $\Delta p$ , la phase de l'exponentielle :

$$\Phi = \frac{1}{\hbar}\,\left[px-E(p).t+\theta(p)\right]$$

varie au plus d'une quantité de l'ordre de 1 radian :

$$\Delta\Phi = \frac{d\Phi}{dp}.\Delta p=\frac{\Delta p}{\hbar}\left( x-\frac{dE}{dp_0}t+\frac{d\theta}{dp_0}\right)\leq 1$$

Cette condition est parfaitement satisfaite au point $P_0$ de coordonnée :

$$x=\frac{dE}{dp_0}\,t-\frac{d\theta}{dp_0}=x_0$$

Ce point $P_0$ s'appelle le centre du paquet d'onde et se déplace en fonction du temps avec une vitesse :

$$v_0=\frac{dE}{dp_0}=\frac{d\omega}{dk_0}=v_g$$

égale à la vitesse de groupe du paquet, elle-même égale à ce que l'on appelle la vitesse classique de la particule.

Toutefois, la condition demeure réalisée dans un voisinage $\Delta x$ du centre $P_0$ du paquet d'ondes tel que :

$$\Delta x.\Delta p\,\sim\,\hbar$$

Ainsi, par un raisonnement essentiellement qualitatif, on retrouve encore l'une des relations de Heisenberg.

Problème : Etalement du paquet d'ondes^IV8.