Mouvement des particules
dans les aimants de Stern et Gerlach

L'évolution temporelle du vecteur ket $\mid \psi(t)>$ représentatif de l'état, dans l'aimant, d'un atome de spin $\vec{S}~=~\hbar\,\vec{s}$ est régie par l'équation de Schrödinger : $$i\hbar\,\frac{d}{dt}\,\mid\psi> = H\,\mid\psi>$$ et dont le hamiltonien a déjà été déterminéIV20:

$$H = \frac{\vec{P}^{\,2}}{2m} - \overrightarrow{\mathcal{M}}\cdot\vec{B}$$

$$H = \frac{\vec{P}^{\,2}}{2m} + g\,\mu_B\,\vec{B}\cdot\vec{s}$$

Le champ magnétique $\vec{B}$ doit satisfaire les équations de Maxwell, en régime statique :

$$\mathrm{div}\,\vec{B} = 0~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\,\vec{B}~=~0$$

dont nous choisirons la solution simple :

$$B_x = 0~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~B_y~=~\alpha\,y~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ B_z~=~B_0-\alpha\,z~~~~~~~~~(\alpha~=~\mathrm{C}^\mathrm{te})$$

Si $s~=~1$ et sur la base constituée des états propres $\mid s, m>_z$ les matrices de spin s'écrivent^IV21 :

$$s_x = \frac{1}{\sqrt{2}}~\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 &... ...(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ \end{array}\right)$$

de telle sorte que les composantes spatiales associées à ces états de spin :

$$\mid\psi> = \psi_+\,\mid +> +~\psi_0\mid 0> + ~\psi_-\mid - >$$

satisfont aux équations :

$$i\hbar\,\frac{\partial}{\partial t}\,\psi_+(\vec{r},t) = \frac{-\hbar^2}{2m}\,\Delta\psi_+ + g\,\mu_B\,\left[\,\frac{-i}{\sqrt{2}}\,\alpha\,y\,\psi_0 + (B_0-\alpha\,z)\,\psi_+\,\right]$$

$$i\hbar\,\frac{\partial}{\partial t}\,\psi_0(\vec{r},t) = \frac{-\hbar^2}{2m}\,\Delta\psi_0 + g\,\mu_B\,\frac{i}{\sqrt{2}}\,(\psi_+-\psi_-)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$$

$$i\hbar\,\frac{\partial}{\partial t}\,\psi_-(\vec{r},t) = \frac{-\hbar^2}{2m}\,\Delta\psi_- + g\,\mu_B\,\left[\,\frac{i}{\sqrt{2}}\,\alpha\,y\,\psi_0 - (B_0-\alpha\,z)\,\psi_-\,\right]$$

On remarque que les trois fonctions ne sont couplées entre elles que par des termes en $\alpha\,y$ résultant eux-mêmes de la contribution de $s_y$ . Or l'étude^IV22 de la précession de Larmor révèle que, dans le cadre de l'approximation classique, où le spin est assimilé à un vecteur $\vec{\mathcal{J}}(t)$ , celui-ci tourne autour du champ magnétique $\vec{B}$ avec une vitesse angulaire $\vec{\omega}$ :

$$\frac{d}{dt}\,\vec{\mathcal{J}}(t) = \vec{\omega}\wedge\vec{\mathcal{J}}(t)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \vec{\omega}~=~-\gamma\,\vec{B}$$

telle que les valeurs moyennes de $s_x$ et $s_y$ durant la traversée de l'aimant sont nulles.

Il en résulte que le couplage des trois fonctions est faible. Pour mieux le faire apparaître, il est commode d'introduire les nouvelles fonctions :

$$\psi_{~\overset{+}{\underset{-}{0}}} = e^{~\overset{-}{\underset{+}{0}}~\,\frac{i}{\hbar}\,g\,\mu_B\,B_0\,t} \,\psi^{~\overset{+}{\underset{-}{0}}}$$

qui satisfont alors les équations :

$$i\hbar\,\frac{\partial}{\partial t}\,\psi^+ = \frac{-\hbar^2}{2m}\,\Delta\psi^+ - \frac{i\,g\,\mu_B}{\sqrt{2}}\,\alpha\,y~e^{i\,\varphi}~\psi^0 - g\,\mu_B\,\alpha\,z~\psi^+$$

$$i\hbar\,\frac{\partial}{\partial t}\,\psi^0 = \frac{-\hbar^2}{2m}\,\Delta\psi^0 - \frac{i\,g\,\mu_B}{\sqrt{2}}\,\alpha\,y~\left(-e^{-i\,\varphi}~\psi^+ + e^{i\,\varphi}~\psi^-\right)$$

$$i\hbar\,\frac{\partial}{\partial t}\,\psi^- = \frac{-\hbar^2}{2m}\,\Delta\psi^- + \frac{i\,g\,\mu_B}{\sqrt{2}}\,\alpha\,y~e^{-i\,\varphi}~\psi^0 + g\,\mu_B\,\alpha\,z~\psi^-$$

avec :

$$\varphi = \varphi(t) ~=~ \frac{1}{\hbar}\,g\,\mu_B\,B_0\,t ~=~ 2\pi\,\frac{t}{T}$$

Durant la traversée $\Delta t~=~\frac{l}{v}$ de l'aimant (avec $l\,\sim\,10$ cm et $v\,\sim\,100$ m. $\mathrm{s}^{-1}$ d'où $\Delta t\,\sim\,10^{-3}$ s) la variation de la phase :

$$\Delta\varphi \,\sim\, \frac{2\pi}{T}\,\Delta t\,\sim\,10^8~\mathrm{rad}$$

est si grande que durant un intervalle de temps grand par rapport à $T$ , mais petit par rapport à $\Delta t$ , la valeur moyenne des termes de couplage en $\alpha\,y$ est nulle, de telle sorte que les trois équations deviennent indépendantes :

$$i\hbar\,\frac{\partial}{\partial t}\,\psi^+ = \frac{-\hbar^2}{2m}\,\Delta\psi^+ - g\,\mu_B\,\alpha\,z~\psi^+$$

$$i\hbar\,\frac{\partial}{\partial t}\,\psi^0 = \frac{-\hbar^2}{2m}\,\Delta\psi^0~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$$

$$i\hbar\,\frac{\partial}{\partial t}\,\psi^- = \frac{-\hbar^2}{2m}\,\Delta\psi^- + g\,\mu_B\,\alpha\,z~\psi^-$$

Les centres de ces trois paquets d'ondes se meuvent conformément aux théorèmes d'Ehrenfest :

$$\frac{d}{dt}\,<\vec{r}>_\pm = \frac{1}{m}\,<\vec{p}>_\pm~~~~~~~~~~\mathrm{et}~~~~~~~~~~ \frac{d}{dt}\,<\vec{p}>_\pm ~=~ \pm\,g\,\mu_B\,\alpha\,\hat{z}$$

avec :

$$<p>_0 = \mathrm{C}^\mathrm{te} ~=~ \vec{p}_0$$

et donc conformément aux équations de Newton :

$$m\,\frac{d^2}{dt^2}\,<\vec{r}> = \overset{+}{\underset{-}{0}}~g\,\mu_B\,\alpha\,\hat{z}$$

$\hat{z}$ désignant le vecteur unitaire dans la direction du champ . Ce résultat justifie le traitement classique du mouvement dans l'espace qui avait été pratiqué précédemment^IV23.

L'état d'évolution de l'atome est donc représenté par un vecteur ket de la forme :

$$\mid \psi(t)> = \psi^+(t)\,\mid +> +~\psi^0(t)\,\mid 0> + ~\psi^-(t)\,\mid ->$$

Si :

$$\psi^{+,0,-}(\vec{r}) \equiv 0~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathrm{pour}~~~~~~~~\vec{r}\,\not\in\,\Delta^{+,0,-}$$

et si l'intersection de ces trois régions est vide :

$$\Delta^+\,\cap\,\Delta^0\,\cap\,\Delta^- \equiv$$ 0

la détection de l'atome dans l'une de ces régions provoque la réduction du paquet d'ondes et constitue une détermination de l'état de spin et de la valeur de $s_z$ . Par exemple :

$$\mathrm{si}~~~~~~~~~~\vec{r}~\in~\Delta^+~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~s_z = +\,\hbar$$

C'est cette hypothèse qui a été tacitement faite précédemment^IV24 et qui justifie la mesure indirecte de la composante $s_z$ du spin de l'atome, en le localisant après qu'il ait traversé l'aimant de Stern et Gerlach.

En fait, les trois paquets d'ondes se chevauchent toujours mais les recouvrements sont très faibles de telle sorte que l'application du principe de réduction du paquet d'ondes conduit à un état final normalisé représenté par :

$$\mid \psi(t)> = \psi^+(t)\,\mid +> +~\psi^0(t)\,\mid 0> + ~\psi^-(t)\,\mid ->$$

et dans lequel une seule des trois composantes a des valeurs sensibles dans la région $\Delta$ où la particule a été détectée, de telle sorte qu'avec une excellente approximation le ket représentatif se réduit à l'un des trois termes.