Choix de bases

Avant toute chose, il s'agit de choisir une base de représentation des états. Il est tout indiqué de choisir pour états de base les états propres d'impulsion tant pour les états initiaux que pour les états finals^IV30, et que l'on choisira de normaliser comme suit :

$$<\vec{p}_1^{\,\prime},\ldots,\vec{p}_n^{\,\prime},\lambda^\prime\mid \vec{p}_1,\ldots,\vec{p}_n,\lambda > = \delta_{\lambda^\prime,\lambda}\,\prod^{n}_{i=1}~2\,E_i\,(2\pi)^3\,\delta^3(\vec{p}_i^{\,\prime}-\vec{p}_i)$$

A ces relations d'orthonormalisation correspond la relation de fermeture suivante :

$$\mathbf{1} = \sum_\lambda~\int~\mid\vec{p}_1,\ldots,\vec{p}_n,\lambda>\,dF\,<\vec{p}_1,\ldots,\vec{p}_n,\lambda\mid$$

avec :

$$dF = \prod^n_{i=1}\,\frac{d^3p_i}{(2\pi)^3\,2E_i}~=~\frac{d^4\mathcal{P}}{(2\pi)^4}\,dQ$$

Cette dernière égalité correspond à un changement de variables dans l'élément différentiel d'une intégrale multiple, et définit notamment l'élément différentiel $dQ$ sachant que :

$$\mathcal{P} = p_1 + p_2 + \ldots + p_n$$

En effet on peut encore écrire :

$$\frac{d^4\mathcal{P}}{(2\pi)^4}\,dQ = \prod^n_{i=1}\,\frac{d^3p_i}{(2\pi)^3\,2E_i}~\,\delta^4(p_1 + p_2 + \ldots + p_n-\mathcal{P})~\,d^4\mathcal{P}$$

le signe d'égalité signifiant que les deux membres de l'équation précédente sont équivalents quand ils figurent tous deux sous un signe d'intégration. L'expression explicite de l'élément différentiel $dQ$ en résulte immédiatement :

$$dQ = (2\pi)^4\,\prod^n_{i=1}\,\frac{d^3p_i}{(2\pi)^3\,2E_i}~\,\delta^4(p_1 + p_2 + \ldots + p_n-\mathcal{P})$$