Etat initial

L'état initial $(t_i=-\infty)$ des deux particules indépendantes $A$ et $B$ est le produit^IV31 de deux états de 4-impulsions moyennes $\overline{P}_1$ et $\overline{P}_2$ et représenté par le vecteur ket :

$$\mid I> = \mid\widetilde{P_1}>\times\mid\widetilde{P_2}>\times\mid\lambda>~=~ \mid\widetilde{P_1},\widetilde{P_2},\lambda>$$

$\lambda$ désignant un ensemble de nombres quantiques additionnels tels que le spin, etc..., éventuel-lement nécessaires pour caractériser univoquement cet état initial. L'état spatial de chacune de ces deux particules est un paquet d'ondes de la forme :

$$\mid\widetilde{P},\lambda> = \int~\frac{d^3P}{2\,P_0}\,\varphi(P)\,\mid P,\lambda> ~=~ \int\,d^4P\,~\hat{\Phi}(P)\,\mid P,\lambda>$$

avec^IV32 :

$$\hat{\Phi}(P) = \delta(P^2-m^2)\,\theta(P_0)\,\varphi(P)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathrm{et}~~~~~~~~~<\widetilde{P},\lambda\mid\widetilde{P},\lambda>~=~N$$

$N$ désignant le nombre de particules associées à ce paquet d'ondes et $\theta(P_0)$ désignant la fonction de Heaviside nulle pour $P_0\,<\,0$ et égale à 1 pour $P_0\,>\,0$ .

Il sera ensuite commode d'introduire les transformées de Fourier des fonctions $\hat{\Phi}(P)$ :

$$\hat{\Phi}(P) = (2\pi)^{-4}~\int\,d^4x\,e^{-i\,P\,x}\,\Phi(x)$$

c'est-à-dire les fonctions d'ondes de Schrödinger $\Phi_A(x)$ et $\Phi_B(y)$ des deux paquets d'ondes initiaux correspondant respectivement au projectile et à la cible.