Interaction

Abandonné à lui-même l'état initial I filtré par l'appareillage évolue ensuite spontanément, et notamment sous l'effet de l'interaction entre les deux particules. Conformément au postulat VI, cette évolution temporelle est représentée par l'action de l'opérateur $\mathcal{U}(t_f-t_i)$ , qui conduit à l'état sur lequel la mesure finale est effectuée :

$\displaystyle \mathcal{U}(t_f-t_i)\,\mid I>$

$\displaystyle =$

$\displaystyle e^{-\frac{i}{\hbar}\,(t_f-t_i)\,H}\,\mid\widetilde{P_1},\widetilde{P_2},\lambda>$

C'est précisément la tâche d'une théorie des interactions mises en jeu dans la réaction étudiée, que de fournir une expression de l'énergie d'interaction qui figure dans le hamiltonien total

et d'en déduire l'expression des amplitudes de transition entre des états initiaux et finals bien déterminés :

$\displaystyle <f\mid \mathcal{U}\mid i>$

$\displaystyle =$

$\displaystyle \lim_{\scriptsize\begin{array}{c} t_f\to+\infty \\ t_i\to-\infty\\ \end{array}}\,<f\mid\,e^{-\frac{i}{\hbar}\,(t_f-t_i)\,H}\,\mid i>$

$\displaystyle \mid i>$

$\displaystyle =$

$\displaystyle \mid{P_1},{P_2},\lambda>~~~~~~~~~~~~\mathrm{et}~~~~~~~~~~~~ \mid f> ~=~ \mid \vec{p}_1,\ldots,\vec{p}_n,\lambda^\prime>$

On construit ainsi les éléments d'une matrice

appelée matrice de diffusion ou de réaction et qui exprime toute la dynamique des interactions :

$\displaystyle <f\mid S \mid i>$

$\displaystyle =$

$\displaystyle <\vec{p}_1,\ldots,\vec{p}_n,\lambda^\prime\mid S \mid P_1,P_2,\lambda >$

On notera que les lignes et les colonnes se réfèrent à deux bases distinctes.

Or, pour un système de particules soumises à des interactions seulement mutuelles, l'énergie et l'impulsion totales sont conservées au cours de la réaction, de telle sorte que^IV33 la matrice précédente n'a d'éléments de matrice non nuls qu'entre des états de même 4-impulsion totale et on peut alors définir une nouvelle matrice réduite par ses éléments $<f\mid \mathcal{M}\mid i>$ tels que :

$\displaystyle <f\mid S \mid i>$

$\displaystyle =$

$\displaystyle i\,(2\pi)^4\,\delta^4(\mathcal{P}_f-\mathcal{P}_i)\,<f\mid \mathcal{M}\mid i>$

Toute la dynamique de l'interaction est implicitement contenue dans les valeurs des éléments $<f\mid \mathcal{M}\mid i>$ et le but d'une expérience est de tester la validité de la théorie ou plus simplement du modèle qui a conduit à ces valeurs.