c) Probabilités de transition

Conformément au principe de Born^IV34la probabilité de transition de l'état initial I à l'un quelconques des états finals $\mid f>\,\in\,dQ$ a pour expression :

$$\mathcal{P}rob~(I\,\to\,f\,\in\,dQ) = \frac{dQ}{N_A\,N_B}\,\int\,\frac{d^4\mathcal{P}}{(2\pi)^4}~~\begin{array}{\vert c\vert}<f \mid \mathcal{U}\mid I>\\ \end{array}^{\,2}$$

$N_A$ et $N_B$ désignant respectivement le nombre de projectiles et le nombre de cibles mis en jeu dans l'expérience.

Il suffit maintenant de rassembler les résultats partiels, déjà obtenus précédemment, en les introduisant dans la formule précédente :

$$<f\mid\mathcal{U}\mid I> = \mid\widetilde{P}_1,\widetilde{P}_2,\lambda> ~=~ \int \,d^4P_1\,d^4P_2\,\hat{\Phi}_A(P_1)\,\hat{\Phi}_B(P_2)~<f\mid S\mid P_1,P_2,\lambda>$$

avec :

$$\hat{\Phi}_A(P_1) = \frac{1}{(2\pi)^4}\,\int\,d^4x\,e^{-i\,P_1\,x}\,\Phi_A(x)$$

et avec :

$$\hat{\Phi}_B(P_2) ~=~ \frac{1}{(2\pi)^4}\,\int\,d^4y\,e^{-i\,P_2\,y}\,\Phi_B(y)$$

et :

$$<f\mid S\mid P_1,P_2,\lambda> = i\,(2\pi)^4\,\delta^4(\mathcal{P}_f-\mathcal{P}_i)~<f\mid \mathcal{M}\mid i>$$

Le $\delta^4$ de Dirac rend immédiate l'intégration sur $d^4P_2$ et impose la valeur $P_2~=~\mathcal{P}-P_1$ . Si, par ailleurs, dans $<f\mid \mathcal{M}\mid i>$ on fait l'approximation d'assimiler les variables $P_1$ et $P_2$ qui figurent dans $\mid i>$ à leurs valeurs moyennes $\overline{P}_1$ et $\overline{P}_2$ , l'intégration sur $d^4P_1$ fournit un $\delta^4(x-y)$ qui rend à son tour immédiate l'intégration sur $y$ , de telle sorte qu'il reste :

$$<f\mid\mathcal{U}\mid I> = i\,<f\mid\mathcal{M}\mid i>\,\int\,d^4x\,e^{-i\,\mathcal{P}_x}\,\Phi_A(x)\,\Phi_B(x)$$

$$\begin{array}{\vert c\vert}<f\mid\mathcal{U}\mid I>\\ \end{array}^{\,2} = \begin{array}{\vert c\vert}<f\mid\mathcal{M}\mid i>\\ \end{ar... ...mathcal{P}(x-y)}~\Phi_A(x)\,\Phi_B(x)\,\Phi_A^*(y)\,\Phi_B^*(y)$$

L'intégration qui suit sur $d^4\mathcal{P}$ fournit un $\delta^4(x-y)$ rendant immédiate l'intégration sur $d^4y$ et on obtient enfin :

$$\mathcal{P}rob~(I\,\to\,f\,\in\,dQ) = \begin{array}{\vert c\vert}<f\mid\mathcal{M}\mid i>\\ \end{ar... ...{\,2}\,\begin{array}{\vert c\vert}\Phi_B(x)\\ \end{array}^{\,2}$$

Le second membre de cette équation est le produit de trois facteurs :

$\bullet$   Le premier facteur, qui est $$\begin{array}{\vert c\vert}<f\mid\mathcal{M}\mid i>\\ \end{array}^{\,2}$$ , exprime la dynamique,

$\bullet$   le second facteur, qui est $\scalebox{1.4}{$\frac{dQ}{N_A\,N_B}$}$ , exprime la géométrie et la cinématique puisqu'il indique l'acceptance $dQ$ des détecteurs et les nombres $N_A$ et $N_B$ de particules mises en jeu,

$\bullet$   Le dernier facteur est une intégrale de recouvrement entre la distribution de probabilité de présence des projectiles $A$ et celle des cibles $B$ .

Bien évidemment, il ne peut y avoir réaction entre $A$ et $B$ et transition vers un nouvel état final que si un projectile $A$ et une cible $B$ se trouvent en même temps au même endroit.