d) Expression théorique de la section efficace

Il suffit maintenant de mettre en correspondance les deux expressions du nombre $d^2N_f$ d'événements détectés par un appareillage qui sélectionne les états finals $\mid f>\,\in\,dQ$ :

$\imath-$ la première qui est d'origine expérimentale et qui définit la notion de section efficace différentielle $d\sigma_f$ :

$$d^2N_f = d\sigma_f~v~\int\,d^4x\,\rho_A(x)\,\rho_B(x)$$

$\imath\imath-$ la seconde qui exprime les hypothèses et un modèle théorique d'interaction sous forme des éléments $<f\mid \mathcal{M}\mid i>$ de la matrice réduite $\mathcal{M}$ d'interaction :

$$d^2N_f = N_A\,N_B~\mathcal{P}rob~(I\,\to\,f\,\in\,dQ)$$

$$d^2N_f = \begin{array}{\vert c\vert}<f\mid\mathcal{M}\mid i>\\ \end{ar... ...^{\,2}~\begin{array}{\vert c\vert}\Phi_B(x)\\ \end{array}^{\,2}$$

d'où finalement en tenant compte de la relation entre $$\begin{array}{\vert c\vert}\Phi(x)\\ \end{array}^{\,2}$$ et $\rho(x)$ :

$$\frac{d\sigma_f}{dQ} = \frac{\begin{array}{\vert c\vert}<f\mid\mathcal{M}\mid i>\\ \end{array}^{\,2}}{v~2\overline{E}_A\,2\overline{E}_B}$$

Le dénominateur du second membre peut encore s'écrire sous une forme générale invariante relativiste :

$$v = \begin{array}{\vert c\vert}\vec{v}_A-\vec{v}_B\\ \end{array} ... ...array}{\vert c\vert}E_2\,\vec{P}_1-E_1\,\vec{P}_2\\ \end{array}$$

$$(v\,E_1\,E_2)^2 = (E_1\,E_2-\vec{P}_1\,\vec{P}_2)^2 + m_1^2\,(\vec{P}_2^{\,2}-E_2^{\,2}) + \vec{P}_1^{\,2}\,\vec{P}_2^{\,2}\,(1-\cos^2\theta_{1,2})$$

et si $\theta_{1,2}~=~\pi$ (choc de plein fouet) :

$$(v\,E_1\,E_2)^2 = (\widetilde{p}_1\,\widetilde{p}_2)^2 - m_1^2\,m_2^2 ~\underset{\mathrm{CM}}{=}~(\vec{p}_i\,E_{\mathrm{tot}})^2_{\mathrm{CM}}$$

la dernière égalité étant valable seulement dans le référentiel du centre de masse :

$$\vec{p}_1 = -\vec{p}_2 ~=~ (\vec{p}_i)_{\mathrm{CM}}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathrm{et}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ E_{\mathrm{tot}} ~=~ E_A + E_B$$

et $(\widetilde{p}_1\,\widetilde{p}_2)^2$ désignant le produit des deux 4-vecteurs.

D'où le résultat final :

$$\begin{array}{\vert c\vert}\hline { }\\ ~~ \scalebox{1.4}{$\f... ...sqrt{(p_1\,p_2)^2-m_1^2\,m_2^2}$}}~~\\ { }\\ \hline \end{array}$$

On notera que $d\sigma$ , $dQ$ et $<f\mid \mathcal{M}\mid i>$ sont également chacun des invariants relativistes.