b) Observables symétriques

Considérons en effet une grandeur physique $\hat{A}$ quelconque du système. Puisque les $n$ particules sont identiques et interchangeables, l'expression classique de $\hat{A}$ est une fonction symétrique des grandeurs correspondantes associées à chacune de ces particules, par exemple pour l'énergie cinétique :

$$K(\vec{p}_1,\vec{p}_2,\ldots,\vec{p}_n)= \frac{\vec{p}_1^2}{2m}+\frac{\vec{p}_2^2}{2m}+\ldots= K(\vec{p}_i,\vec{p}_j,\ldots,\vec{p}_z)$$

Dans l'espace complet des états :

$$\mathcal{H}=\mathcal{H}_1\otimes\,\mathcal{H}_2\otimes\,\ldots\otimes\, \mathcal{H}_n$$

l'observable image $A$ correspondante est également une expression symétrique, de telle sorte qu'elle est invariante sous l'effet de toute permutation induite :

$$\mathcal{P}\,A\,\mathcal{P}^{-1}\equiv A~~~~~~~~\mathrm{d'o\grave{u}}~~~~~~~~ \left[\mathcal{P},A\right]=0$$

Question 5-4 : Soit un ensemble d'électrons. Montrer que l'expression classique de leur énergie potentielle d'interaction électromagnétique est une fonction symétrique des coordonnées de ces électrons.