Conséquence du postulat VII

Selon ce postulat, l'espace ${\mathcal{H}}_{H}$ des vecteurs kets associé à l'ensemble $H$ de deux sous-systèmes physiques $F$ et $G$ , est le produit tensoriel de deux espaces ${\mathcal{H}}_{F}$ et ${\mathcal{H}}_{G}$ associés à $F$ et $G$ :

$$H=F\oplus\,G~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathrm{et}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \mathcal{H}_{H}=\mathcal{H}_{F}\otimes\,\mathcal{H}_{G}$$

Si $(F^1,\ldots,F^p)$ noté $F$ est un E.C.O.C. de $\mathcal{H}_{F}$ et $(G^1,\ldots,G^q)$ noté $G$ est un E.C.O.C. de $\mathcal{H}_{G}$ , l'ensemble des produits $\mid f^i>\otimes\,\mid g^j>$ formés avec les vecteurs propres $\mid f^i>$ de $F$ (communs aux observables $F^p$ ) et les vecteurs propres $\mid g^j>$ de $G$ (communs aux observables $G^q$ ) constitue une base de représentation dans $\mathcal{H}_{H}$ .

$$\mid h^{ij}>=\mid f^i>\otimes\,\mid g^j>\,\in\,\mathcal{H}_{H}$$

$$\mathrm{Si}~~~~\mid h>\,\in\,\mathcal{H}_{H}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mid h>=\sum\limits_{i,j}\,h_{ij}\, \mid h^{ij}>$$

Les vecteurs de base $\mid h^{ij}>$ sont donc alors factorisables, mais un vecteur quelconque $\mid h>$ de $\mathcal{H}_{H}$ ne l'est pas :

$$\mid h>~\not=~\mid f>\otimes\,\mid g>$$

Par suite, dans l'état représenté par le ket $\mid h^{ij}>$ , le système $F$ est dans un état représenté par $\mid f^i>$ et le système $G$ est dans un état représenté par $\mid g^j>$ , et ces deux états sont alors indépendants, comme nous l'avons déjà remarqué précédemment^V9 :

$$h^{ij}(x_1,y_1,z_1,x_2,y_2,z_2)=f^i(x_1,y_1,z_1).g^j(x_2,y_2,z_2)$$

Au contraire dans un état du système global $H$ représenté par un vecteur :

$$\mid h>=\sum\limits_{i,j}\,h_{ij}\,\left(\mid f^i>\otimes\,\mid g^j>\right)\not= \mid f>\otimes\,\mid g>$$

il n'existe aucun vecteur ket, tel que $\mid f>$ susceptible de représenter un état $f$ de $F$ , et de même pour $\mid g>$ de $G$ . Ainsi le formalisme indique que les états individuels $f$ et $g$ n'existent pas puisqu'ils ne peuvent pas être représentés^V10. Par conséquent, dans l'état $h$ de $H$ , ni $F$ ni $G$ n'admettent d'états individuels. On remarquera que les suites des états $\mid f^i>$ pour $F$ et $\mid g^j>$ pour $G$ ne jouissent d'aucun statut privilégié, puisque la décomposition de $\mid h>$ n'est pas unique. En effet, en adoptant un nouvel E.C.O.C. :

$(F^{\prime p})=F^\prime$ dans ${\mathcal{H}}_{F}$ et un nouvel E.C.O.C. qui est $(G^{\prime q})=G^\prime$ dans ${\mathcal{H}}_{G}$ on obtient :

$$\mid h>=\sum\limits_{i,j}\,h_{ij}\,\left(\mid f^i>\otimes\,\mid g... ...k,l}\,h^\prime_{kl}\,\left(\mid f^{\prime k}>\otimes\,\mid g^{\prime l}>\right)$$

Ainsi l'état $h$ de $H$ attribue aux systèmes $F$ et $G$ des couples d'états corrélés tels que $\mid f^i>,\mid g^j>$ ou $\mid f^{\prime k}>,\mid g^{\prime l}>$ et la force de cette corrélation est mesurée par la valeur des coefficients $h_{ij}$ ou $h^\prime_{kl}$ .