La machine de J. S. Bell

Rappelons tout d'abord les postulats scientifiques de Einstein^V16V17 :

$\imath-$ Il existe une réalité physique objective (c'est-à-dire indépendante des observateurs) et descriptible par la science.

$\imath\imath-$ Cette réalité est constituée de choses localisées et rangées dans un continuum d'espace-temps.

$\imath\imath\imath-$ Ces choses revendiquent une existence autonome dans la mesure où elles se trouvent dans des parties différentes de l'espace et aucune interaction ne peut lier deux événements séparés par un intervalle du genre espace.

$\imath v-$ Chacune de ces choses est alors, à chaque instant, dans un état individuel déterminé, indépendamment de ce qui peut exister en dehors d'elle dans le monde.

Dès 1964, J. S. Bell a démontré certaines relations mathématiques, aujourd'hui appelées inégalités de Bell, qui sont des conséquences des postulats précédents et qui vont être établies ci-après. Il existe maintenant d'autres façons nombreuses et variées de démontrer ces inégalités. Ces diverses démonstrations sont souvent fondées sur des hypothèses variées qui ne sont pas toujours bien explicites et qui ne sont pas non plus toujours nécessaires à l'exactitude de ces inégalités. Mieux vaut sans doute s'en tenir à la dernière (17 juin 1980) forme de démonstration que J. S. Bell lui-même a donné de ses inégalités. Cette démonstration est simple et surtout très générale, parce que débarrassée de toute hypothèse inutile.

On notera en effet, dans la suite, que cette démonstration ne suppose :

- ni le déterminisme,

- ni l'existence de particule de spin $\frac{1}{2}$ ,

- ni la nature du niveau microscopique (particules, champs,... ?),

- ni le formalisme quantique.

La démonstration de Bell ne met en jeu que des événements. Elle consiste seulement en des prévisions concernant des corrélations entre des événements, créés par un certain type de dispositif expérimental. Elle suppose toutefois essentiellement que ces événements localisés dans l'espace-temps sont séparés par des intervalles du genre espace.

Imaginons donc un dispositif expérimental constitué d'une très longue boite noire (on veut ignorer comment fonctionne l'appareillage interne et ce qui s'y passe) dotée de trois entrées et de trois sorties. Les trois sorties sont trois bandes de papier sur chacune desquelles peut s'imprimer l'une des deux réponses : Oui ou Non ci-après codées respectivement +1 ou -1. L'entrée centrale est seulement un ordre de mise en route : GO et la sortie centrale une réponse de bon fonctionnement (+1) avec mesure de l'instant $t$ du déclenchement. Chaque nouveau déclenchement initialise une nouvelle expérience.

A l'instant $t+T$ , chacune ($\pm 1$ ) des deux réponses s'imprime à une des deux extrémités de la boite noire. Toutefois au même instant $t+T=\eta$ (avec $\eta\ll \frac{L}{c}$ où $L$ désigne la longueur de la boite et $c$ la vitesse de la lumière) on injecte un signal à chacune des deux extrémités, soit deux signaux distincts notés : $a$ et $b$ .

La démonstration ci-après ne supposera que ce qui vient d'être précisé. Toutefois, il est facile de concrétiser ce dispositif, en imaginant qu'il peut réaliser l'expérience E.P.R., conçue par Bohm, c'est-à-dire la désintégration au centre de la boite d'une particule de spin nul, en deux particules de spin $\frac{1}{2}$ dont on mesure avec des aimants de Stern et Gerlach les composantes de spin $s_a$ et $s_b$ aux deux extrémités, dans deux directions distinctes notées $a$ et $b$ :

$$s_a=\frac{\hbar}{2}\,\sigma_a~~~~~~(\sigma_a=A=\pm 1)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ s_b=\frac{\hbar}{2}\,\sigma_b~~~~~~(\sigma_b=B=\pm 1)$$

On notera que ces directions $a$ et $b$ des aimants et donc les grandeurs mesurées $s_a$ et $s_b$ sont choisies bien après la désintégration, et que ces deux choix $a$ et $b$ ainsi que les deux inscriptions $A$ et $B$ constituent deux couples d'événements séparés par un intervalle du genre espace, et donc sans effet possible de l'un sur l'autre.

En répétant un très grand nombre de fois l'expérience, on mesure expérimentalement la probabilité :

$$\mathcal{P}(\,AB\,\vert\,a,b\,)$$

d'obtenir les réponses $A$ et $B$ associées aux données $a$ et $b$ . Il est clair qu'en général :

$$\mathcal{P}(AB\,\vert\,a,b)\not=\mathcal{P}(A\,\vert\,a)\,.\,\mathcal{P}(B\,\vert\,b)$$

car il peut exister des causes communes ou des effets perturbatifs communs aux événements $A$ et $B$ , et qui ont pour effet de créer des corrélations entre ces événements, et donc de les empêcher d'être indépendants et d'interdire la factorisation des probabilités.

Question 5-17 : Montrez que la désintégration de la particule de spin 0, qui vient d'être considérée, constitue précisément une cause commune qui introduit une très forte corrélation entre les mesures de $s_x$ sur chacune des particules émises.

De telles corrélations sont parfaitement explicables. Toutefois, comme nous allons le voir, certaines corrélations observées expérimentalement (et prévues par la mécanique quantique) sont inexplicables et, semble-t-il au moins, incompatibles avec les postulats scientifiques de Einstein rappelés ci-dessus.