Démonstration des inégalités de Bell

Appelons $\lambda$ l'ensemble de tous les paramètres, autres que $a$ et $b$ , connus ou inconnus, dont peut dépendre la probabilité cherchée :

$$\mathcal{P}(\,AB\,\vert\,a,b,\lambda\,)$$

Pour un ensemble de valeurs constantes et fixées de $\lambda$ , cette probabilité ne peut plus dépendre que de $a$ et $b$ . Puisque ces paramètres sont indépendants et puisque la mesure de $A$ (respectivement $B$ ) et l'injection du signal $b$ (respectivement $a$ ) constituent deux événements séparés par un intervalle du genre espace, la probabilité totale correspondante à ces valeurs fixées de $\lambda$ devient factorisable^V18 :

$$\mathcal{P}(AB\,\vert\,a,b,\lambda)= \mathcal{P}_1(A\,\vert\,a,\lambda)\,.\,\mathcal{P}_2(B\,\vert\,b,\lambda)$$

Puisque ces paramètres $\lambda$ sont mal connus et éventuellement variables, ces probabilités ne sont pas mesurables. Toutefois nous admettrons que les variables $\lambda$ admettent une distribution de probabilité $\rho(\lambda)$ et que les mesures de corrélation effectuées correspondent à des mesures moyennes effectuées sur cette distribution :

$$\mathcal{P}(AB\,\vert\,a,b)=\int\,d\lambda\,\rho(\lambda)\, \mathcal{P}(AB\,\vert\,a,b,\lambda)$$

Calculons la valeur moyenne du produit $AB$ correspondant aux valeurs $a$ et $b$ , notée :

$$\left< A.B\right>_{ab}=E(a,b)$$

$$\begin{array}{ccl} \left< A.B\right> & = & \sum\limits_{\scri... ...athcal{P}_2^+ +\mathcal{P}_1^-\,\mathcal{P}_2^- \\ \end{array}$$

de telle sorte que :

$$E(a,b)=\int\,d\lambda\,\rho(\lambda)\,\bar{A}(a,\lambda)\,\bar{B}(b,\lambda)$$

avec :

$$\bar{A}(a,\lambda)=\mathcal{P}_1(+\,\mid \,a,\lambda)-\mathcal{P}_1(-\,\mid \,a,\lambda)$$

$$\bar{B}(b,\lambda)=\mathcal{P}_2(+\,\mid \,b,\lambda)-\mathcal{P}_2(-\,\mid \,b,\lambda)$$

Bien évidemment :

$$0\leq \mathcal{P}_1\leq 1~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathrm{d'o\... ...egin{array}{\vert c\vert} \bar{A}(a,\lambda) \end{array} \leq 1$$

$$0\leq \mathcal{P}_2\leq 1~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathrm{d'o\... ...egin{array}{\vert c\vert} \bar{B}(b,\lambda) \end{array} \leq 1$$

Considérons maintenant un nouvel ensemble de mesures correspondant à un nouveau couple de valeurs $a$ et $b^\prime$ :

$$E(a,b^\prime)=\int\,d\lambda\,\rho(\lambda)\, \bar{A}(a,\lambda)\,\bar{B}(b^\prime,\lambda)$$

On notera que l'on a gardé la même distribution $\rho(\lambda)$ bien que l'appareillage correspondant à $b^\prime$ peut être différent^V19 de celui correspondant à $a$ . En soustrayant membre à membre :

$$E(a,b)\pm E(a,b^\prime)=\int\,d\lambda\,\rho(\lambda)\,\bar{A}(a,\lambda)\, \left[\bar{B}(b,\lambda)\pm \bar{B}(b^\prime,\lambda)\right]$$

puisque $$\begin{array}{\vert c\vert} \bar{A}(a,\lambda) \end{array} \leq 1$$ :

$$\begin{array}{\vert c\vert} E(a,b)\pm E(a,b^\prime) \end{arra... ...rt} \bar{B}(b,\lambda)\pm \bar{B}(b^\prime,\lambda) \end{array}$$

Pour deux autres couples $(a^\prime,b)$ et $(a^\prime,b^\prime)$ :

$$\begin{array}{\vert c\vert} E(a^\prime,b)\mp E(a^\prime,b^\pr... ...rt} \bar{B}(b,\lambda)\mp \bar{B}(b^\prime,\lambda) \end{array}$$

d'où, puisque :

$$\begin{array}{\vert c\vert} \bar{B}(b,\lambda) \end{array} \leq 1$$

et avec :

$$\begin{array}{\vert c\vert} \alpha \end{array} = \mathcal{S}u... ...ert c\vert} \bar{B}(b^\prime,\lambda) \end{array}~\right\rbrace$$

$$\begin{array}{\vert c\vert}\alpha+\beta\\ \end{array}+\begin{... ...ha\\ \end{array}>\begin{array}{\vert c\vert}\beta\\ \end{array}$$

Il en résulte :

$$\begin{array}{\vert c\vert}\bar{B}(b,\lambda)\pm \bar{B}(b^\p... ...{B}(b,\lambda)\mp \bar{B}(b^\prime,\lambda)\\ \end{array}\leq 2$$

et tenu compte de :

$$\int\,\rho(\lambda)\,d\lambda=1$$

on obtient finalement une expression des inégalités de Bell :

$$\begin{array}{\vert c\vert}E(a,b)\pm E(a,b^\prime)\\ \end{arr... ...\vert}E(a^\prime,b)\mp E(a^\prime,b^\prime)\\ \end{array}\leq 2$$

et donc a fortiori :

$$\begin{array}{\vert c\vert}\hline { }\\ ~~\begin{array}{\vert... ...me,b^\prime)\\ \end{array}~\leq ~2~~\\ { }\\ \hline \end{array}$$