Principe de Hamilton
(ou Principe de moindre action)

A chaque instant $t$ l'état d'un système classique quelconque peut être caractérisé par les valeurs prises à cet instant par un nombre minimum $n$ de paramètres indépendants $q_i(t)$ fonctions du temps. Ce nombre $n$ s'appelle le nombre de degrés de liberté de ce système.

A ce système on peut associer une fonction caractéristique de ce système appelée sa fonction de Lagrange $L$ , elle-même fonction des fonctions $q_i(t)$ et $\dot{q}_i(t)\,=\,\scalebox{1.4}{$\frac{dq_i}{dt}$}$ et éventuellement du temps.

Classiquement, cette fonction $L$ est la différence entre la fonction énergie cinétique $K$ et la fonction énergie potentielle $V$ :

$$L(q_i,\dot{q}_i(t),t) = K(\dot{q}_i(t)) - V(q_i,t)$$

L'état initial $(q_i^0)$ et l'état final $(q_i^f)$ étant supposés connus, toute évolution $C$ possible qui puisse connecter ces deux états est déterminée par des fonctions $q_i\,=\,q_i(t)$ telles que :

$$q_i(t_0) = q_i^o~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathrm{et}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~q_i(t_f)~=~q_i^f$$

Ces fonctions $q_i(t)$ peuvent être considérées comme étant les coordonnées d'un point mobile $M$ qui décrit un chemin $C$ dans un espace mathématique à $n$ dimensions appelé espace de configuration. A tout chemin $C$ correspond une valeur prise sur ce chemin par l'intégrale d'action $\mathcal{S}(C)$ :

$$\mathcal{S}(C) = \int_{t_0}^{t_f}\hspace{-.70cm}C\hspace{.30cm}\,L(q_i,\dot{q}_i,t)\,dt$$

Le principe de moindre action affirme que le bon chemin $\hat{C}$ , c'est-à-dire celui qui correspond à l'évolution effective du système ; c'est-à-dire celui qui est conforme aux lois de la mécanique :

$$\mathrm{sur}~~~\hat{C}~~:~~~~~~~~~~~~~~~~~q_i = \hat{q}_i(t)$$

est celui pour lequel l'intégrale $\mathcal{S}(C)$ prend sa valeur minimum de telle sorte que, pour toute variation :

$$\hat{q}_i(t)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\longrightarrow~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~q_i(t) = \hat{q}_i(t) + \delta q_i(t)$$

considérée au voisinage de ce chemin $\hat{C}$ , le terme de premier ordre $\delta^{(1)}\mathcal{S}$ dans la variation de l'action est nul :

$$\delta^{(1)}\mathcal{S} = \delta^{(1)}\,\left[\int_{t_1}^{t_2}\hspace{-.70cm}C\hspace{.30cm... ...mathcal{S}(\hat{q}_i + \delta q_i) - \mathcal{S}(\hat{q}_i)~\right]^{(1)} ~=~ 0$$

Grâce à ce principe de moindre action, déterminer l'évolution temporelle effective du système physique considéré revient à déterminer les fonctions $\hat{q}_i(t)$ qui ont pour effet de rendre minimum la valeur de l'intégrale d'action $\mathcal{S}(C)$ .

Considérons en particulier l'évolution d'une particule classique soumise à des forces qui dérivent d'une fonction potentielle $V$ indépendante du temps, de telle sorte que :

$$E = K + V ~=~ \frac{1}{2}\,m\,v^2 + V ~=~ \mathrm{C}^\mathrm{te} ~=~ E_0$$

l'intégrale d'action calculée entre la position initiale de la particule $M_0(q_i^0)$ et sa position finale $M_f(q_i^f)$ s'écrit :

$$\mathcal{S}(C) = \int_{t_0}^{t_f}\hspace{-.70cm}C\hspace{.30cm}\,\left(\frac{1}{2}... ...dt~=~ \int_{t_0}^{t_f}\hspace{-.70cm}C\hspace{.30cm}\,m\,v^2 - E_0\,(t_f - t_0)$$

et avec   $v^2\,dt\,=\,v\cdot d\ell$    on obtient :

$$\mathcal{S}(C) = m\,\int_{t_0}^{t_f}\hspace{-.70cm}C\hspace{.30cm}~v^2\,dt + \mathrm{C}^\mathrm{te}$$

de telle sorte que le principe de moindre action s'écrit encore :

$$\delta^{(1)}\mathcal{S} = \delta^{(1)}\,\left[~\int_{M_0}^{M_f}\hspace{-.90cm}C\hspace{.50cm}\,v\,d\ell~\right] ~=~ 0$$

Cette dernière expression est celle du principe de Maupertuis. On notera la grande analogie entre l'expression mathématique du principe de Fermat et celle du principe de Maupertuis :

Fermat	Maupertuis
$$\delta^{(1)}\,\left[~\int_{M_1}^{M_2}\hspace{-.90cm}C\hspace{.50cm}\,\frac{d\ell}{u}~\right] ~=~ 0$$	$$\delta^{(1)}\,\left[~\int_{M_1}^{M_2}\hspace{-.90cm}C\hspace{.50cm}\,v\,d\ell~\right] ~=~ 0$$

Cette analogie devient encore plus remarquable si on rappelle la relation de de Broglie entre la vitesse de phase $u$ d'une onde et la vitesse de groupe $v$ qui est la vitesse de la particule associée :

$$u\cdot v = c^2$$