Application 2 :

Nous nous proposons de calculer l'amplitude de probabilité de localiser une particule libre au point $x$ à l'instant $t$ , sachant qu'elle avait été localisée au point $x_0$ à l'instant $t_0$ :

$$<x,t\mid x_0,t_0> = \lim_{\varepsilon\,\to\,0}~\int~\frac{dx_1}{A}~\int~\frac{dx_2}{A... ...alebox{1.2}{$~\frac{i}{\hbar}$}~\scalebox{1.0}{$\mathcal{S}(\mathrm{chemin})$}}$$

$\mathcal{S}(\mathrm{chemin})$ désignant l'intégrale d'action calculée sur le chemin qui joint les points $x_0(t_0),~x_1(t_1),$ $\ldots,~x_n(t_n),~x(t)~$ avec :

$$t_i-t_{i-1} = \varepsilon~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathrm{et}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~A ~=~ \left(i~\frac{h\,\varepsilon}{m}\right)^{\frac{1}{2}}$$

et puisque la particule est libre :

$$\mathcal{S}(\mathrm{chemin}) = \int_{~~}^{~~}\hspace{-.70cm}C\hspace{.30cm}\frac{1}{2}\,m\,v^2\,dt ~=~ \frac{m}{2\,\varepsilon}~\sum_{i\,=\,1}^{n+1}~\left(x_i-x_{i-1}\right)^2$$

L'expression calculée porte sur un produit de fonctions gaussiennes dont les intégrales sont elles-mêmes gaussiennes de telle sorte que les intégrales, toutes gaussiennes, peuvent s'effectuer l'une après l'autre :

$$\frac{1}{A}~\int_{-\infty}^{+\infty}\,{\scalebox{1.6}{$e$}}^{\sca... ...\,\varepsilon}$}~\scalebox{1.0}{$\left[(x_2-x_1)^2 + (x_1-x_0)^2\right]$}}~dx_1 = \frac{1}{A\,\sqrt{2}}~{\scalebox{1.6}{$e$}}^{~\scalebox{1.2}{$\frac{m}{4i\,\hbar\,\varepsilon}$}~\scalebox{1.0}{$(x_2-x_0)^2$}}$$

En multipliant le second membre par :

$$\frac{1}{A}~{\scalebox{1.6}{$e$}}^{~\scalebox{1.2}{$\frac{m}{2i\,\hbar\,\varepsilon}$}~\scalebox{1.0}{$(x_3-x_2)^2$}}$$

et en intégrant sur $x_2$ , on obtient une expression encore semblable au résultat de la première intégration sur $x_1$ mais avec $(x_3-x_0)^2$ au lieu de $(x_2-x_0)^2$ et $3\varepsilon$ au lieu de $2\varepsilon$ . En procédant ainsi par récurrence, on obtient finalement :

$$<x,t\mid x_0,t_0> = \lim_{\varepsilon\,\to\,0}~\left(\frac{i\,h\,n\,\varepsilon}{m}\r... ...ebox{1.2}{$\frac{m}{2i\,\hbar\,n\,\varepsilon}$}~\scalebox{1.0}{$(x_n-x_0)^2$}}$$

et puisque :

$$\lim n\varepsilon = t - t_0 ~=~ \Delta t$$

et avec $$\begin{array}{\vert c\vert}x-x_0\\ \end{array}\,=\,\Delta x$$ :

$$<x,t\mid x_0,t_0> = \left(\frac{m}{i\,h\,\Delta t}\right)^{\frac{1}{2}}~~ {\scalebox{... ...ta t}$}~\scalebox{1.0}{$\begin{array}{\vert c\vert}x-x_0\\ \end{array}^{\,2}$}}$$

On retrouve bien un résultat antérieur qui donne l'expression du propagateur non relativiste^VII1.