Nous nous proposons de calculer l'amplitude de probabilité de
localiser une particule libre au point
à l'instant
,
sachant qu'elle avait été localisée au point
à
l'instant
:
désignant l'intégrale
d'action calculée sur le chemin qui joint les points
avec :
et puisque la particule est libre :
L'expression calculée porte sur un produit de fonctions
gaussiennes dont les intégrales sont elles-mêmes gaussiennes
de telle sorte que les intégrales, toutes gaussiennes, peuvent
s'effectuer l'une après l'autre :
En multipliant le second membre par :
et en intégrant sur
, on obtient une expression
encore semblable au résultat de la première intégration sur
mais avec
au lieu de
et
au lieu de
. En procédant ainsi par
récurrence, on obtient finalement :
et puisque :
et avec
:
On retrouve bien un résultat antérieur qui donne l'expression du propagateur non relativisteVII1.