b) Spectre non dégénéré - continu

Si le spectre des valeurs propres de l'observable $B$ est non dégénéré mais continu, l'ensemble des vecteurs propres $\mid b>$ forme encore une base, mais non dénombrable. Si $\Delta$ désigne le ou les intervalles qui contiennent ces valeurs propres (réelles puisque $A$ est hermitique) on écrira, pour tout vecteur $\mid f>$ de $\cal{H}_{\cal{S}}$ :

$$\forall \mid f>~\in~{\cal{H}_{\cal{S}}}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mid f>=\int_\Delta~f(b)~\mid b>~db$$

Cette expression de $\mid f>$ s'appelle encore la décomposition spectrale du vecteur $\mid f>$ . Nous supposerons toujours, dans ce cas, que la base est orthonormée à la manière de Dirac, c'est-à-dire :

$$<b\mid b^\prime>=\delta(b-b^\prime)~~~\mathrm{d'o\grave{u}}~~~<b^\prime\mid f>=f(b^\prime)$$

de telle sorte que, quel que soit $\mid f>~\in~{\cal{H}_{\cal{S}}}$ :

$$\mid f>=\int_\Delta~<b\mid f>\mid b>~db~=~\int_\Delta~\mid b>db<b\mid f>$$

Si $<b\mid b^\prime>=\delta(b-b^\prime)$ alors 1 $~=\int_\Delta~\mid b>\,db\,<b\mid$

On obtient ainsi une autre décomposition spectrale de l'opérateur unité, et également une autre expression de la relation de fermeture.

Sur une telle base $\{\mid b>\}$ tout ket $\mid f>$ est repéré par une infinité non dénombrable de composantes $f(b)$

$$\mid f>=\left(\int_\Delta~\mid b>\,db\,<b\mid \right)~\mid f>=\int_\Delta~f(b)~\mid b>~db$$

avec :

$$f(b)=<b\mid f>$$

L'ensemble des composantes $f(b)$ constitue une fonction, en général complexe, de la variable réelle $b$ . Cette fonction s'appelle la fonction d'onde représentative du ket $\mid f>$ .

Le vecteur bra conjugué $<f\mid$ du vecteur ket $\mid f>$ sera défini par la fonction d'onde complexe conjuguée :

$$<f\mid =\int_\Delta~f^*(b)~<b\mid ~db$$

de telle sorte que le produit scalaire prend la forme :

$$<f\mid g>=<f\mid \mathrm{\Large\bf {1}}\mid g>=<f\mid \left(\int_\Delta~f(b)~\mid b>db<b\mid \right)~\mid g>$$

$$<f\mid g>=\int_\Delta~f(b)^*.g(b)~db~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$$