Remarque

Ainsi, choisir une représentation du formalisme de la mécanique quantique, c'est choisir un Ensemble Complet d'Observables qui Commutent (ou E.C.O.C.). Il existe donc une très grande variété de représentations possibles dans l'espace des états du système physique étudié. Si le spectre des valeurs propres de chacune des observables de base est discret, la base est dénombrable. Les vecteurs $\mid f>$ sont alors représentés par la suite discrète et dénombrable de leurs composantes $f_i$ et les opérateurs linéaires $L$ par leurs éléments de matrice $L_{ij}$ , de telle sorte que sur une telle base, la mécanique quantique prend la forme d'une mécanique des matrices. Ce fût notamment la première forme donnée par Heisenberg en 1926. Si, au contraire, le spectre des valeurs propres de chacune des observables de base est continu, chaque vecteur ket $\mid f>$ est représenté par sa fonction d'onde image $f(x,\ldots)$ et les opérateurs quantiques seront représentés par des opérateurs fonctionnels. Cette deuxième forme de représentation par des fonctions d'onde fût notamment celle proposée, également en 1926, par Schrödinger et initialement appelée pour cette raison mécanique ondulatoire.

Ces deux représentations mathématiques, matricielle et ondulatoire, paraissaient initialement si différentes que l'on put croire un moment qu'elles désignaient deux théories physiques différentes, et d'autant plus que les observables de la représentation matricielle mettaient en évidence les valeurs propres quantifiées et les sauts quantiques discontinus, tandis que la représentation ondulatoire semblait gommer ces discontinuités et retrouver la continuité classique. Ce fût Schrödinger qui montra très vite l'équivalence de ces deux représentations, et Dirac qui donna ensuite de toutes ces représentations possibles la fomulation abstraite développée dans ce chapitre, et qui en révèle la structure mathématique commune.

On a déjà remarqué ci-dessus que la plupart des mesures des grandeurs physiques sont indirectes. Elles mettent un jeu un appareillage et les observations effectives faites finalement sur cet appareillage sont des mesures de longueur ou de position. On notera donc peut-être avec étonnement que dans le formalisme quantique les observables de position du type $X,Y,Z,\ldots$ par exemple, ne jouissent d'aucun statut privilégié parmi les autres observables.

Plus profondément, et en ce qui concerne les implications conceptuelles fondamentales de la mécanique quantique, on remarquera que, tandis que dans la mécanique classique l'espace constitue le cadre naturel et obligé des phénomènes, au contraire dans la mécanique quantique l'espace de référence est purement mathématique et les variables d'espace ne jouissent d'aucune primauté.