b) Spectre mixte quelconque

Cette dernière remarque conduit naturellement à l'énoncé du postulat IV dans le cas général, notamment quand la mesure est incomplète, c'est-à-dire ne fait qu'exclure une partie des résultats a priori possibles.

POSTULAT IV

Soit un système physique dont l'état initial $\Psi_i$ bien déterminé est représenté par le vecteur ket $\mid \Psi_i>$ . Supposons que la mesure d'une variable dynamique $\hat{A}$ , représentée par l'observable $A$ , soit effectuée sur ce système dans cet état $\Psi_i$ . Dès lors, l'état final $\Psi_f$ immédiatement consécutif à cette mesure doit être représenté par la projection renormalisée $\mid \Psi_f>$ du ket $\mid \Psi_i>$ sur la variété linéaire engendrée par tous les vecteurs propres de $A$ non exclus par le résultat de la mesure. En particulier :

$$\mathrm{Si}~~\hat{A}=a_k$$

$$\mid \Psi_f>=N\,\underset{\omega}{\scalebox{1.7}{S}}~\mid a_k,\om... ..._f>=N\,\underset{\omega}{\scalebox{1.7}{S}}~\Psi_i(a_k,\omega)~\mid a_k,\omega>$$

$$\mathrm{Si}~~a^\prime\leq\hat{A}\leq a^{\prime\prime}$$

$$\mid \Psi_f>=N\,\int_{a^\prime}^{a^{\prime\prime}}da~\underset{\o... ...prime}}da~\underset{\omega}{\scalebox{1.7}{S}}~ \Psi_i(a,\omega)~\mid a,\omega>$$

$N$ étant tel que $<\Psi_f\mid \Psi_f>=1$ et les sommations sur l'indice de dégénérescence $\omega$ portant sur toutes les valeurs compatibles avec $a_k$ ou avec $a$ tel que $a^\prime\leq a\leq a^{\prime\prime}$

Autrement dit le ket $\mid \Psi_f>$ s'obtient en enlevant, en biffant, dans la décomposition spectrale du ket $\mid \Psi_i>$ tous les vecteurs propres $\mid a_k,\omega>$ ou $\mid a,\omega>$ correspondant à des valeurs propres telles que :

$$a_i\not=a_k~~~~~\mathrm{ou}~~~~~a~\not\in~[a^\prime,a^{\prime\prime}]$$

On remarquera que le ket ainsi obtenu à partir de $\mid \Psi_i>$ par réduction du paquet d'ondes n'est plus lui-même normalisé. Il y a donc lieu de le renormaliser.