b) Spectre mixte quelconque

Cette dernière remarque conduit naturellement à l'énoncé du postulat IV dans le cas général, notamment quand la mesure est incomplète, c'est-à-dire ne fait qu'exclure une partie des résultats a priori possibles.

POSTULAT IV

Soit un système physique dont l'état initial $\Psi_i$ bien déterminé est représenté par le vecteur ket $\mid \Psi_i>$ . Supposons que la mesure d'une variable dynamique $\hat{A}$ , représentée par l'observable

, soit effectuée sur ce système dans cet état $\Psi_i$ . Dès lors, l'état final $\Psi_f$ immédiatement consécutif à cette mesure doit être représenté par la projection renormalisée $\mid \Psi_f>$ du ket $\mid \Psi_i>$ sur la variété linéaire engendrée par tous les vecteurs propres de

non exclus par le résultat de la mesure. En particulier :

$\displaystyle \mathrm{Si}~~\hat{A}=a_k$

$\displaystyle \mid \Psi_f>=N\,\underset{\omega}{\scalebox{1.7}{S}}~\mid a_k,\om... ..._f>=N\,\underset{\omega}{\scalebox{1.7}{S}}~\Psi_i(a_k,\omega)~\mid a_k,\omega>$

$\displaystyle \mathrm{Si}~~a^\prime\leq\hat{A}\leq a^{\prime\prime}$

$\displaystyle \mid \Psi_f>=N\,\int_{a^\prime}^{a^{\prime\prime}}da~\underset{\o... ...prime}}da~\underset{\omega}{\scalebox{1.7}{S}}~ \Psi_i(a,\omega)~\mid a,\omega>$

étant tel que $<\Psi_f\mid \Psi_f>=1$ et les sommations sur l'indice de dégénérescence $\omega$ portant sur toutes les valeurs compatibles avec ou avec tel que $a^\prime\leq a\leq a^{\prime\prime}$

Autrement dit le ket $\mid \Psi_f>$ s'obtient en enlevant, en biffant, dans la décomposition spectrale du ket $\mid \Psi_i>$ tous les vecteurs propres $\mid a_k,\omega>$ ou $\mid a,\omega>$ correspondant à des valeurs propres telles que :

On remarquera que le ket ainsi obtenu à partir de $\mid \Psi_i>$ par réduction du paquet d'ondes n'est plus lui-même normalisé. Il y a donc lieu de le renormaliser.