Il est alors évident, avec
et
:
Inversement, supposons que avec .
La base
qui diagonalise
diagonalise
également
et sur cette base :
Ces valeurs propres
sont donc nulles ou égales à 1 et de
l'équation :
résulte qu'une seule de ces valeurs propres
est
égal à 1 de telle sorte que :
La condition nécessaire et suffisante pour que la matrice soit celle d'un cas pur s'écrit donc :