d) Forme standard

Un mélange quelconque de cas purs quelconques est toujours équivalent à un mélange de cas purs orthogonaux.

En effet, toute matrice $\rho$ est une matrice semi-définie, c'est-à-dire que pour tout vecteur $\mid f>$ :

$$<f\mid \,\rho\,\mid f> = \sum\limits_n\,\mathcal{P}_n\,\begin{array}{\vert c\vert}<f\mid \Psi^n>\\ \end{array}^{~2}\geq 0$$

Puisque $\rho$ est hermitique, il existe une base $\{\mid \varphi_i>\}$ qui diagonalise la matrice $\rho$ , et sur cette base, les éléments diagonaux $\hat{\rho}_m$ ne peuvent être négatifs puisque :

$$<f\mid \,\rho\,\mid f> = \sum\limits_m\,\hat{\rho}_m\,\begin{array}{\vert c\vert}<f\mid \varphi_m>\\ \end{array}^{~2}\geq 0$$

quel que soit $\mid f>$ , notamment $\mid f>=\mid \varphi_n>$ d'où $\hat{\rho}_n\geq 0$ sur la base qui diagonalise la matrice $\rho$ , l'opérateur $\rho$ prend sa forme standard :

$$\rho=\sum\limits_m\,\mid \varphi_m>\,\mathcal{P}_m\,<\varphi_m\mid$$

avec :

$$<\varphi_n\mid \varphi_m>=\delta_{nm}~~~~~~~~ 0\leq \mathcal{P}_m\leq 1~~~~~~~~\mathrm{et}~~~~~~~~\sum\limits_m\mathcal{P}_m=1$$

Question 2-7 : Démontrez que la matrice $\rho-\rho^2$ est également une matrice semi-définie.