Irreductibilité du cas pur

Pour bien comprendre tous les paradoxes que révèle la théorie quantique de la mesure, et qui seront exposés dans le chapitre V, il est important de démontrer ci-après l'impossibilité de représenter un cas pur sous la forme d'un mélange.

En effet, considérons le mélange $\rho$ de deux cas purs :

$$\rho=\mid a>\,\alpha\,<a\mid +\mid b>\,\beta\,<b\mid ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \mathrm{avec}~~~~~~\alpha\geq 0~~~~~\beta\geq 0~~~~~\alpha+\beta=1$$

que l'on peut écrire symboliquement :

$$\rho=\alpha\,A+\beta\,B$$

Il en résulte successivement :

$$\begin{array}{ccl} \rho^2 & = & \alpha^2\,A^2+\beta^2\,B^2+\a... ...& \alpha\,A^2+\beta\,B^2-\alpha\,\beta\,(A-B)^2 \\ \end{array}$$

tenu compte de $\alpha+\beta=1$ . On obtient donc :

$$\rho-\rho^2=\alpha\,(A-A^2)+\beta\,(B-B^2)+\alpha\,\beta\,(A-B)^2$$

Pour que $\rho$ soit un cas pur, il faut :

$$\rho-\rho^2=1$$

ce qui exige donc :

$$A-A^2=1~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~B-B^2=1~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(A-B)^2=0$$

Or le carré de la matrice hermitique $A-B$ ne peut s'annuler que si cette matrice est elle-même nulle. En effet :

$$\sum\limits_i\,h_{ij}\,h_{ji}=\sum\limits_i\,\begin{array}{\vert c\vert}h_{ij}\\ \end{array}^{~2}=0~~~~~~~~~~~ \mathrm{si}~~~~~~h_{ij}\equiv 0$$

Si donc $\rho$ décrit un cas pur, le mélange considéré initialement avec $A=B$ n'était pas réellement un mélange. Inversement, si $\rho=\alpha\,A+\beta\,B$ est bien un vrai mélange alors $\rho^2\not=\rho$ et $\rho$ ne peut décrire un cas pur. En résumé, une combinaison linéaire à coefficients positifs de cas purs (c'est-à-dire un mélange) ne peut jamais être lui-même un cas pur.

Question 2-8 : En choisissant pour base celle qui diagonalise la matrice $\rho$ , démontrez :

$$\mathrm{Tr}\,\rho^2=1~~~~~\mathrm{pour~un~cas~pur}$$

$$\mathrm{Tr}\,\rho^2<1~~~~~\mathrm{pour~un~m\acute{e}lange}$$

Puisque la trace est invariante dans tous les changements de base, ces relations sont bien caractéristiques. La valeur de $\mathrm{Tr}\,\rho^2$ est d'autant plus faible que le mélange est important.

Démontrez que l'équation $\rho^2=\rho$ constitue la condition nécessaire et suffisante pour que $\rho$ désigne un cas pur.