Rotation induite dans l'espace des états

Supposons maintenant que la rotation précédente $R_z(\theta)$ soit appliquée au système physique étudié $\mathcal{S}$ , c'est-à-dire , comme cela a déjà été précisé, soit appliquée à ses états. Dans cet espace des états $\cal{H}_{\cal{S}}$ , la rotation physique $R_z(\theta)$ est représentée mathématiquement par un opérateur de rotation induite $\mathcal{R}_z(\theta)$ dont nous avons déjà vu qu'il était unitaire :

$$R_z(\theta)~~~~~~~~\longrightarrow~~~~~~~~\mathcal{R}_z(\theta)$$

et à l'instar de ce qui a déjà été fait pour les translations, une rotation d'un angle infinitésimal $\delta\theta$ , c'est-à-dire voisine de l'identité, pourra s'écrire :

$$\mathcal{R}_z(\theta)=\mathbf{1}+\delta\theta\,r_z$$

$r_z$ désignant l'opérateur générateur infinitésimal des rotations autour de l'axe $Oz$ .

Il s'agit de déterminer cet opérteur $r_z$ . A cet effet on pourrait suivre la même demarche que celle déjà suivie pour déterminer $d_x$ . Il faudrait pour cela examiner comment chacune des observables est transformée sous l'effet de cette roattion induite. Nous nous bornerons à procéder par analogie.

Dans le cas d'une translation induite :

$$\mathcal{D}_z(\delta z)=\mathbf{1}+\delta z\,d_z$$

le générateur $d_z$ s'obtient en calculant le moment conjugué de la variable $z$ concernée par la translation :

$$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \dot{z}}=p_z~~~~~~ \longrightarrow~~~~~~P_z$$

et le générateur $d_z$ s'en déduit :

$$d_z=-\frac{i}{\hbar}\,P_z$$

Nous admettrons que ce procédé peut être généralisé de telle sorte que le générateur $r_z$ de la rotation induite :

$$\mathcal{R}_z(\delta\theta)=\mathbf{1}+\delta\theta\,r_z$$

peut s'obtenir en calculant le moment conjugué de la variable $\theta$ : la seule concernée par la rotation autour de $Oz$ . Or, nous savons déjà^III13 qu'en exprimant l'énergie cinétique en fonction notamment de la variable $\theta$ :

$$K=\frac{1}{2}\,I\,\dot{\theta}^2$$

que le moment conjugué de cette variable $\theta$ :

$$p_\theta=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \dot{\theta}}= \frac{\partial K}{\partial \dot{\theta}}=I\,\dot{\theta}=\ell_z$$

n'est autre que la composante $z$ du moment cinétique total du système , puisque $\theta$ repérait lui-même l'orientation du système dans son ensemble, c'est-à-dire celle de son centre de masse. Conformément au procédé utilisé, le générateur $r_z$ s'en déduit immédiatement :

$$r_z=-\frac{i}{\hbar}\,L_z$$

Comme précédemment pour les translations, les expressions des opérateurs des rotations induites infinitésimales et finies s'en déduisent aussitôt :

$$\mathcal{R}_z(\delta\theta)=\mathbf{1}-\frac{i}{\hbar}\,\delta\theta\,L_z$$

$$\mathcal{R}_z(\theta)=\lim_{n\to\infty}\, \left[\mathcal{R}_z(\frac{\theta}{n})\right]^n=e^{-\frac{i}{\hbar}\,\theta\,L_z}$$

On remarquera l'analogie de structure entre l'opérateur de rotation $R_z(\theta)$ dans l'espace physique $\mathbf{R}_3$ à trois dimensions, et son image : l'opérateur de rotation induite $\mathcal{R}_z(\theta)$ dans l'espace des états $\cal{H}_{\cal{S}}$ :

$$R_z(\theta)=e^{-\frac{i}{\hbar}\,\theta\,\ell_z} ~~~~~~~~~~~~\longrightarrow~~~~~~~~~~~~ \mathcal{R}_z(\theta)=e^{-\frac{i}{\hbar}\,\theta\,L_z}$$

Toutefois, il y a lieu de remarquer que $R_z(\theta)$ (matrice $3\times 3$ ) agit dans un espace à trois dimensions, tandis que $\mathcal{R}_z(\theta)$ agit dans un espace de Hilbert $\cal{H}_{\cal{S}}$ à une infinité de dimensions.