Fonctions propres

Les états propres de $X,~Y,~Z$ : $\mid x^\prime,y^\prime,z^\prime>$ admettent pour fonction d'onde :

$$<x,y,z\mid x^\prime,y^\prime,z^\prime>= \delta(x-x^\prime).\delta(y-y^\prime).\delta(z-z^\prime)$$

mais les $\delta$ de Dirac ne sont pas de véritables fonctions. Néanmoins la décomposition spectrale d'un ket quelconque :

$$\mid \Psi>=\int\int\int_{-\infty}^{+\infty}\,\mid x^\prime,y^\pri... ...prime>\, dx^\prime\,dy^\prime\,dz^\prime\,<x^\prime,y^\prime,z^\prime\mid \Psi>$$

peut être transcrite ``chez Schrödinger'' comme suit :

$$<x,y,z\mid \Psi>=\Psi(x,y,z)$$

$$\Psi(x,y,z)\int\int\int_{-\infty}^{+\infty}\, \delta(x-x^\prime).... ...z-z^\prime)\, \Psi(x^\prime,y^\prime,z^\prime)\,dx^\prime\,dy^\prime\,dz^\prime$$

ce qui constitue d'ailleurs une identité en raison de la signification fonctionnelle des $\delta$ de Dirac sous le signe d'intégration.

Quelles sont les fonctions d'onde représentatives ``chez Schrödinger'' des états propres d'impulsion ? L'équation aux valeurs propres écrite ``chez Dirac'' selon :

$$P_x\,\mid p^\prime_x>=p^\prime_x\,\mid p^\prime_x>$$

est transcrite ``chez Schrödinger'' selon :

$$\frac{\hbar}{i}\,\frac{\partial}{\partial x}\,\Psi_{p^\prime_x}(x,y,z)= p^\prime_x\,\Psi_{p^\prime_x}(x,y,z)$$

l'indice inférieur $p^\prime_x$ indiquant que la fonction d'onde cherchée est relative à la valeur propre $p^\prime_x$ de l'observable $P_x$ . Cette dernière équation s'intègre parfaitement :

$$\Psi_{p^\prime_x}(x,y,z)=\mathrm{C}^\mathrm{te}\, \varphi(y,z)\,e^{\frac{i}{\hbar}\,p^\prime_x\,x}$$

$\varphi(y,z)$ désignant une fonction quelconque des variables $y$ et $z$ . Il en résulte que la fonction d'onde représentative d'un état propre simultané des trois observables $P_x,~P_y,~P_z$ sera de la forme :

$$\mid p^\prime_x,p^\prime_y,p^\prime_z>~~~~~~~~\longrightarrow~~~~... ...\frac{3}{2}}\, e^{\frac{i}{\hbar}\,(p^\prime_x\,x+p^\prime_y\,y+p^\prime_z\,z)}$$

correspondance que l'on peut écrire :

$$<\vec{r}\mid \,\vec{p}^\prime>=h^{-\frac{3}{2}}\, e^{\frac{i}{\hbar}\,\vec{p}^\prime.\vec{r}}$$

la constante $h^{-\frac{3}{2}}$ ayant pour objet de normaliser ces états d'impulsion selon :

$$<\vec{p}\,\mid \,\vec{p}^\prime>=\delta^{(3)}(\vec{p}-\vec{p}^\pr... ...rac{3}{2}}\,\int\, e^{\frac{i}{\hbar}\,(\vec{p}^\prime-\vec{p})\,\vec{r}}\,d^3r$$