Représentation sur la base des états d'impulsion

Nous savons déjà que $P_x,~P_y,~P_z$ constituent un E.C.O.C. dont les états propres communs $\mid p_x,p_y,p_z>=\mid \,\vec{p}>$ constituent une nouvelle base de représentation :

$$\mid \varphi>~~~~~~~~\longrightarrow~~~~~~~~<\vec{p}\,\mid \varphi>=\varphi(\vec{p})$$

analogue à celle de Schrödinger :

$$\mid \varphi>~~~~~~~~\longrightarrow~~~~~~~~<\vec{r}\,\mid \varphi>=\Phi(\vec{r})$$

Le même état ket $\mid \varphi>$ peut être représenté par la fonction d'onde $\varphi(\vec{p})$ sur la base $\{\mid \,\vec{p}>\}$ ou par la fonction d'onde $\Phi(\vec{r})$ sur la base $\{\mid \,\vec{r}>\}$ . La correspondance entre ces deux représentations s'obtient en écrivant :

$$<\vec{r}\,\mid \varphi>=<\vec{r}\,\mid \,\mathbf{1}\,\mid \varphi... ...t_{-\infty}^{+\infty}\,<\vec{r}\,\mid \,\vec{p}>\,d^3p\,<\vec{p}\,\mid \varphi>$$

soit :

$$\Phi(\vec{r})=h^{-\frac{3}{2}}\,\int_{-\infty}^{+\infty}\, \varphi(\vec{p})\,e^{\frac{i}{\hbar}\,\vec{p}^\prime.\vec{r}}\,d^3p$$

On remarque que les éléments de la matrice de changement de base, sont :

$$<\vec{r}\,\mid \,\vec{p}>= h^{-\frac{3}{2}}\,e^{\frac{i}{\hbar}\,\vec{p}^\prime.\vec{r}}= <\vec{p}\,\mid \,\vec{r}>^*$$

Question 3-21 : Montrez que cette matrice est unitaire et expliquez pourquoi elle devait l'être ?

On remarque que les deux fonctions d'onde $\Phi(\vec{r})$ et $\varphi(\vec{p})$ sont transformées de Fourier l'une de l'autre.

La décomposition du vecteur ket $\mid \varphi>$ représentatif d'un état sur la base $\{\mid \,\vec{p}>\}$ des états propres d'impulsion :

$$\mid \varphi>=\mathbf{1}\,\mid \varphi>= \int\int\int_{-\infty}^{+\infty}\,\mid \,\vec{p}>\,d^3p\,<\vec{p}\,\mid \varphi>$$

permet de préciser quelle est la distribution de probabilité des valeurs de l'impulsion de la particule dans l'état $\varphi$ . Par application du principe de Born :

$$\mathcal{P}rob\,(\vec{p}\,\in\,\Delta^3p)=\int_{\Delta^3p}\, ... ...{array}{\vert c\vert}\varphi(\vec{p})\\ \end{array}^{\,2}\,d^3p$$

Question 3-22 : Soit $\Psi(x)=\alpha\,e^{-\frac{\beta}{2}\,x^2}$ la fonction d'onde représentative de l'état $\Psi$ d'une particule (espace à 1 dimension). Calculez la probabilité :

$$\mathcal{P}rob\,(a\leq p\leq b)$$

$p$ désignant l'impulsion de la particule.

Ainsi dans un tel état quelconque $\varphi$ , aucune des observables n'a une valeur définie. Les dispersions des valeurs des variables de position $x,~y,~z$ sont mesurées par les écarts-types $\Delta x,~\Delta y,~\Delta z$ , calculées sur la fonction d'onde $\Phi(\vec{r})$ . de même les écarts-types $\Delta p_x,~\Delta p_y,~\Delta p_z$ , relatives aux composantes de l'impulsion sont calculées à l'aide de la fonction $\varphi{\vec{p})}$ . On démontre mathématiquement que lorsque deux telles fonctions sont transformées de Fourier l'une de l'autre, les écarts-types satisfont les inégalités :

$$\Delta x\,\Delta p_x\geq\frac{\hbar}{2}~~~~~~~~~~~~~~~~ \Delta y\... ... p_y\geq\frac{\hbar}{2}~~~~~~~~~~~~~~~~ \Delta z\,\Delta p_z\geq\frac{\hbar}{2}$$

On retrouve ainsi les inégalités de Heisenberg.