b) Résolution de l'équation radiale

Il y a lieu de distinguer les solutions correspondant à des énergies positives et négatives.

$\imath-$ Si $E\,>\,0$ :

La solution régulière à l'origine a un comportement oscillatoire à l'infini. Le spectre en énergie est continu et il s'agit alors d'un problème de diffusion.

$\imath\imath-$ Si $E\,<\,0$ :

Il y a intérêt à introduire les paramètres :

$$\alpha = \sqrt{\frac{-2m\,E}{\hbar^2}}~~~~~~~~~~~~~~~~ a~=~\frac{1}{Z}\,\f... ...~~~~~\nu~=~\frac{1}{\alpha\,a} ~=~\frac{Ze^2}{\hbar c}\,\sqrt{\frac{mc^2}{-2E}}$$

la nouvelle variable $\rho$ et la nouvelle fonction $y_l$ définies comme suit :

$$\rho = 2\,\alpha\,r~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~u_l~=~e^{-\alpha\,r}\,r^{l+1}\,y_l$$

L'équation radiale s'écrit alors :

$$\left[\rho\,\frac{d^2}{d\rho^2}+(2l+2-\rho)\,\frac{d}{d\rho}-(l+1-\nu)\right]\,y_l =$$ 0

Cette équation différentielle est une équation, dite de Laplace, dont la solution régulière à l'origine est la série hypergéométrique confluente :

$$F(l+1-\nu,2l+2,\rho) = \sum_{p=0}^\infty\,\frac{\Gamma(l+1+p-\nu)}{\Gamma(l+1-\nu)}\, \frac{\Gamma(2l+2)}{\Gamma(2l+2+p)}\,\frac{\rho^p}{p!}$$

Cette série est en général une série infinie et se comporte, lorsque $\rho\,\to\,\infty$ , comme $e^\rho$ et de ce fait ne peut donc constituer une solution normalisable et donc acceptable. Cependant pour certaines valeurs privilégiées de $\nu$ les coefficients s'annulent tous à partir d'un certain rang et la série hypergéométrique se réduit à un polynôme. Pour que cette circonstance se produise, il faut que $l+1-\nu$ soit un entier négatif ou nul, soit :

$$l+1-\nu = -n^\prime~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ n^\prime~=~0,1,2,\ldots\infty$$

ou :

$$\nu = n ~=~ l+1+n^\prime$$

La série devient alors un polynôme de degré $n^\prime$ :

$$F(-n^\prime,2l+2,\rho) = \sum_{p\,=\,0}^{n^\prime}~~(-1)^p~~ \frac{n^\prime!\,(2l+1)!}{(n^\prime-p)!\,(2l+p+1)!\,p!}~\,\rho$$

qui, à un facteur près, est un polynôme de Laguerre et :

$$u_l~~\underset{r\,\to\,\infty}{\sim}~~r^n\,e^{-\alpha\,r}~~\to~~0$$