g) Conclusions

Le mouvement relatif de l'électron autour du proton dans l'atome d'hydrogène est régi par l'équation de Schrödinger :

$$\left( \frac{\vec{p}^{\,2}}{2m} - \frac{e^2}{r} \right)\,\psi(\vec{r}) = E\,\psi(\vec{r})$$

Aux valeurs propres négatives de l'énergie $E$ correspondent les énergies de liaison des états liés de l'atome. Les fonctions d'onde de ces états liés sont de la forme :

$$\psi_{n,l,m}(\vec{r}) = \psi_{n,l}(r)\,Y^m_l(\theta,\varphi)$$

La fonction radiale étant solution de l'équation radiale :

$$\left( -\frac{\hbar^2}{2m}\,\frac{d^2}{dr^2} + \frac{l\,(l+1)\,\hbar^2}{2m\,r^2} -\frac{e^2}{r} -E\right)\,r\,\psi_{n,l}(r) =$$ 0

La valeur propre la plus basse $E_1$ est celle de l'état fondamental :

$$E_1 = -\left(\frac{e^2}{\hbar c}\right)\,\frac{mc^2}{2} ~=~ -13,5\,\mathrm{eV}$$

de fonction d'onde :

$$\psi_{1,0}(\vec{r}) = (\pi\,a^3)^{-\frac{1}{2}} \,e^{-\frac{r}{a}}$$

et de paramètre $a$ tel que :

$$a = \frac{\hbar^2}{m\,e^2} ~=~ 0,529\cdot 10^{-8}\,\mathrm{cm}$$

fixant l'ordre de grandeur du rayon de l'atome d'hydrogène :

$$<r>_{1,0} = \frac{3}{2}\,a$$

Les autres niveaux excités de l'atome ont un spectre discret. Le $\mathrm{n}^{\mathrm{\grave{e}me}}$ niveau d'énergie :

$$E_n = \frac{E_1}{n^2}$$

est dégénéré $n^2$ fois et admet pour fonctions propres toutes les fonctions $\psi_{n,l,m}(\vec{r})$ telles que :

$$0\,\leq\,l\,\leq\,n-1$$ $$-l\,\leq\,m\,\leq\,+l$$   On obtient ainsi les premiers états propres ci-contre, l'état $2s$ ayant même énergie que les trois états $2p$ $(m~=~0~,~m~=~\pm 1)$ . Cette dégérescence est partiellement levée quand on tient compte des effets relativistes.