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Remarque 2 :

Si au contraire la masse $ m$ de la particule n'est pas nulle, soit par exemple un électron :

$\displaystyle E$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{p^2}{2m}~~~~~~~~~~~~~~~~\mathrm{d'o\grave{u}}~~~~~~~~~~~ \o... ...r\,k^2}{2m}~~~~~~~\mathrm{et}~~~~~~~~\omega_0^{\prime\prime}~=~\frac{\hbar}{2m}$  

son paquet d'ondes subit l'étalement :

$\displaystyle \Delta x(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sigma_x\,\left( 1 + \frac{\hbar^2\,t^2}{4m^2\,\sigma_x^4}\right)^\frac{1}{2}$  

Considérons par exemple un électron enfermé dans un atome de rayon $ R$ : $ \sigma_x\,\sim\,R$ . L'image naïve des orbites planétaires de Rutherford n'a de sens que si cet électron demeure approximativement localisé au moins durant la durée $ T$ d'une révolution :

$\displaystyle \frac{\hbar\,t}{2m\,\sigma_x^2}\,\ll\,1~~~~~~~~~~~\mathrm{pour}~~... ....4}{$\frac{2\pi\,R}{v}$} \\ & & \\ \sigma_x &\sim & ~~~R \\ \end{array} \right.$      

d'où la condition :

$\displaystyle \frac{\hbar\,T}{2m\,R^2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\hbar}{2m\,R\,v} ~=~ \frac{\hbar}{\ell_z}~\ll~1$  

ou encore tenu compte de la condition de quantification de Bohr :

$\displaystyle \ell_z$ $\displaystyle =$ $\displaystyle n\,\hbar~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathrm{d'o\grave{u}}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~n~\gg~1$  

Ainsi l'image classique des trajectoires ne peut devenir valable que pour les grandes valeurs du nombre quantique principal $ n$ . C'est là un aspect du principe de correspondance.

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Arnaud Balandras 2005-04-02