Etalement du paquet d'ondes

Considérons dans un espace à une dimension $x$ l'état initial $K$ d'une particule telle que :

$$<X>_0 = x_0~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~<P>_0~=~p_0$$

Le produit initial des dispersions inévitables $\Delta X_0$ sur $x$ et $\Delta P_0$ sur $p$ prend sa valeur minimum pour des fonctions d'onde gaussiennes :

$$< x\mid K(0)> ~=~ \psi(x,0) = A\,e^{\,\frac{i}{\hbar}\,p_0\,x}\,e^{-\scalebox{1.1}{$\frac{(x-x_... ...{2\hbar}\,x_0\,p_0}\,\left(\frac{1}{\sigma_x\,\sqrt{2\pi}}\right)^{\frac{1}{2}}$$

$$< p\mid K(0)> ~=~ \varphi(x,0) = B\,e^{-\frac{i}{\hbar}\,p_0\,x}\,e^{-\scalebox{1.1}{$\frac{(p-p_0... ...{2\hbar}\,x_0\,p_0}\,\left(\frac{1}{\sigma_p\,\sqrt{2\pi}}\right)^{\frac{1}{2}}$$

transformées de Fourier l'une de l'autre et telles que :

$$<X>_0 = x_0~~~~~~~~~~~~~~\Delta X_0~=~\sigma_x~~~~~~~~~~~~~~~~ <P>_0 ~=~ p_0~~~~~~~~~~~~~~\Delta P_0~=~\sigma_p$$

$$\Delta X_0\,\Delta P_0 = \sigma_x\,\sigma_p ~=~ \frac{\hbar}{2}$$

L'évolution temporelle d'un tel état s'en déduit par application de l'opérateur d'évolution :

$$\mathcal{U}(t-t_0) = \mathcal{U}(t) ~=~ e^{-\frac{i}{\hbar}\,H\,t}~=~ e^{-\scalebox{1.1}{$\frac{i\,t}{2m\hbar}$}\,\scalebox{0.9}{$p^2$}}$$

si la particule ne subit aucune interaction :

$$\mid K(t) > = \mathcal{U}(t)\,\mid K(0) > ~=~ \mathcal{U}(t)\,\int^{+\infty}_{-\infty}\,\mid p>\,dp\,<p\mid K(0)>$$

et puisque $\mid p>$ est vecteur propre de $H$ avec la valeur propre :

$$E = \frac{p^2}{2m} ~=~ \hbar\omega$$

$$<x\mid K(t) > = \psi(x,t) ~=~ \frac{1}{\sqrt{h}}\,\int^{+\infty}_{-\infty}\,e^{\frac{i}{\hbar}\,(p\,x-E\,t)}\,\varphi(p,0)\,dp$$

qui peut encore s'écrire, avec $p~=~\hbar\,k$ et $E~=~\hbar\omega$ :

$$\psi(x,t) ~=~ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,\int^{+\infty}_{-\infty}\,e^{i\,(k\,x-\omega\,t)}\,\hat{\varphi}(k,0)\,dk$$

où :

$$\hat{\varphi}(k,0) = C\,e^{-i\,x_0\,k}\,e^{-\scalebox{1.1}{$\frac{(k-k_0)^2}{4\,\sigma... ...\frac{x_0\,k_0}{2}}\,\left(\frac{1}{\sigma_k\,\sqrt{2\pi}}\right)^{\frac{1}{2}}$$

$\omega$ est une fonction de $k$ , qui définit la loi de dispersion des ondes et qui peut être développée dans le voisinage $\sigma_k$ de la valeur principale $k~=~k_0$ qui donne à $\varphi(k)$ sa valeur maximale :

$$\omega(k) = \omega_0 + \bar{k}\,\omega_0^\prime + \bar{k}^2\,\omega_0^{\prime\prime}$$

avec :

$$\bar{k} = k-k_0~~~~~~~~~~\omega_0~=~\omega(k_0)~~~~~~~~~~\omega_0^\prime~=~... ...omega_0^{\prime\prime}~=~\frac{1}{2}\,\left(\frac{d^2\omega}{dk^2}\right)_{k_0}$$

En reportant ce développement limité de $\omega(k)$ dans l'intégrale, et en posant :

$$\bar{x} = x-x_0-\omega_0^\prime\,t~~~~~~~~~~~~\mathrm{et}~~~~~~~~~~~~ \bar{\alpha}~=~\sigma_x^2 + i\,\omega_0^{\prime\prime}\,t$$

on obtient une expression :

$$\psi(x,t) = \frac{C}{\sqrt{2\pi}}\,e^{i\,[k_0\,(x-x_0)-\omega_0\,t]}\, \int^{... ...fty}_{-\infty}\,e^{i\,\bar{k}\,\bar{x}}\,e^{-\bar{\alpha}\,\bar{k}^2}\,d\bar{k}$$

Sur cette expression, on remarque que le centre du paquet d'ondes $x-x_0$ (où la phase est stationnaire) :

$$= \frac{d}{d\bar{k}}\,(\bar{k}\,\bar{x})~=~\bar{x}~=~x-x_0-\omega_0^\prime\,t~=~0$$ 0

se déplace avec la vitesse de groupe égale à $\omega_0^\prime\,=\,\scalebox{1.4}{$\frac{p_0}{m}$}$ qui correspond à la vitesse classique $v_0$ de la particule. Par ailleurs on remarque sur l'expression de $\hat{\varphi}(k,0)$ :

$$\Delta p ~=~ \hbar\,\Delta k = \hbar\,\sigma_k ~=~ \sigma_p$$

On en déduit que la dispersion de l'impulsion $p$ autour de sa valeur moyenne constante $p_0$ est elle-même constante et toujours égale à sa valeur initiale $\sigma_p$ . Cette constance résulte du fait que pour le hamiltonien d'une particule libre, l'impulsion est une constante du mouvement.

Après intégration, la fonction d'onde s'écrit encore :

$$\psi(x,t) = D\,e^{i\,(k_0\,x - \omega_0\,t)}\,e^{-\scalebox{1.1}{$\frac{\bar{... ...}}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathrm{avec}~~~~D~=~\frac{C^*}{\sqrt{2\bar{\alpha}}}$$

de telle sorte que la distribution de localisation possible de la particule :

$$\begin{array}{\vert c\vert}\psi(x,t)\\ \end{array}^{\,2} = R\,\exp\left(-\frac{(x-x_0-\omega_0^\prime\,t)^2}{2\,(\sigma_x^2 ... ... + \frac{\omega_0^{\prime\prime}\,t^2}{\sigma_x^2}\right)\right]^{-\frac{1}{2}}$$

se déplace bien avec la vitesse $\omega_0^\prime~=~v_0$ et avec une dispersion :

$$\Delta x(t) = \sigma_x\,\left(1 + \frac{\omega_0^{\prime\prime\,2}\,t^2}{\sigma_x^4}\right)^\frac{1}{2}$$

qui augmente indéfiniment au cours du temps et devient infiniment grande.