Non séparabilité et relativité

Considérons à nouveau l'ensemble $H$ des deux sous-systèmes physiques $F$ et $G$ , dans un état quelconque représenté par le vecteur ket déjà défini précédemment :

$$\mid h>=\sum\limits_{i,k}\,h_{ik}\,\mid f^i>\otimes\,\mid g^k>$$

Par exemple, $F$ et $G$ pourraient désigner les deux particules de spin $\frac{1}{2}$ déjà considérées dans le paradoxe E.P.R., et résultant de la désintégration d'une particule $H$ de spin zéro :

$$\mid h>=\mid 0,0>=\frac{1}{\sqrt{2}}\,(\mid +>\otimes\,\mid ->)- \frac{1}{\sqrt{2}}\,(\mid ->\otimes\,\mid +>)$$

Comme nous l'avons déjà remarqué, toute mesure effectuée sur la particule $G$ a pour effet, dans le formalisme quantique, de mettre instantanément la particule $F$ dans un état déterminé, et ceci quelle que soit la distance qui sépare les deux particules. On pourrait alors penser que cet effet pourrait permettre de transmettre instantanément des signaux à grande distance, ce qui constituerait une violation du principe de relativité de Einstein. Nous allons montrer d'une façon générale, qu'il n'en est rien.

Supposons donc que des mesures soient (ou ne soient pas) effectuées sur le système (ou la particule). Nous allons montrer que ces mesures éventuelles et leurs résultats sont sans effet sur les observations effectives faites sur le système.

En effet, si $A_F$ désigne une observable quelconque mesurée sur le système $F$ , il suffit de connaitre l'opérateur densité $\rho_F$ des états de $F$ , pour prédire tous ces résultats de mesure :

$$\left<A_F\right>=\mathrm{Tr}(\rho_F\,A_F)$$

$$\mathcal{P}rob~(\hat{A}_F=a) = <a\mid \,\rho_F\,\mid a>~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathrm{si}~~~~~ A_F\,\mid a>=a\,\mid a>$$

Il suffit donc de calculer $\rho_F$ et de démontrer qu'il est indépendant des mesures éventuelles effectuées sur $G$ .

A cet effet, calculons la valeur moyenne de $A_F$ mesurée dans l'état $\mid h>$ du système global :

$$\left<A_F\right>_h=<h\mid \,(A_F\otimes\,\mathbf{1})\,\mid h>= \sum\limits_{i,j,k}\,h^*_{jk}\,<f^j\mid \,A_F\,\mid f^i>\,h_{ik}$$

soit :

$$\left<A_F\right>_h= \sum\limits_{i,j}\,\left(\sum\limits_k\,h_{ik}\,h^*_{jk}\right)\,(A_F)_{ji}$$

$$\left<A_F\right>_h= \sum\limits_{i,j}\,(\rho_F)_{ij}\,(A_F)_{ji}=\mathrm{Tr}(\rho_F\,A_F)$$

avec :

$$(\rho_F)_{ij}=\sum\limits_k\,h_{ik}\,h^*_{jk}$$

ou :

$$(\rho_F)_{ij}=\sum\limits_{i,j,k}\,\mid f^i>\,h_{ik}\,h^*_{jk}\,<f^j\mid$$

$\rho_F$ est l'opérateur densité de $F$ quand aucune mesure n'est effectuée sur $G$ .

Supposons maintenant que sur $G$ on effectue la mesure d'une observable, ou même d'un E.C.O.C. Il est alors commode de choisir cet E.C.O.C. pour E.C.O.C. de base, dont les vecteurs propres $\mid g^k>$ constituent précisément la base déjà choisie dans ${\mathcal{H}}_{G}$ .

On sait déjà que si on trouve pour résultat de mesure $\hat{G}=g_l$ , une application directe du postulat IV de réduction du paquet d'ondes indique que la particule $F$ doit être représentée par le ket normalisé :

$$\mid f(g_l)>=\frac{1}{\sqrt{N_l}}\,h_{il}\,\mid f^i>~~~~~~~~~~~~~... ...~~~~~ N_l=\sum\limits_i\,\begin{array}{\vert c\vert}h_{il}\\ \end{array}^{\,2}$$

La probabilité d'être placée dans cet état est égale à la probabilité de trouver le résultat de mesure $g_l$ , soit en rappelant l'expression générale de cette probabilité^V13 :

$$\mathcal{P}rob_\Psi(\hat{A}=a_k) = \begin{array}{\vert c\vert}<a_k\mid \Psi>\\ \end{array}^{\,2} = <\Psi\mid a_k><a_k\mid \Psi>$$

$$\mathcal{P}rob_\Psi(\hat{A}=a_k) = <\Psi\mid \,P_k\,\mid \Psi>$$

et dans le cas particulier suivant :

$$\mathcal{P}rob_h(\hat{G}=g_l) = <h\mid \,(\mathbf{1}\otimes\,\mid g_l><g_l\mid )\,\mid h>$$

$$\mathcal{P}rob_h(\hat{G}=g_l) = \sum\limits_i\,h^*_{il}\,h_{il} = \sum\limits_i\,\begin{array}{\vert c\vert}h_{il}\\ \end{array}^{\,2} = N_l$$

On en déduit l'expression de l'opérateur densité $\rho_F$ du système $F$ en utilisant l'expression générale d'un opérateur densité^V14 :

$$\rho_F=\sum\limits_m\,\mid m>\,\mathcal{P}_m\,<m\mid$$

$$\rho_F=\sum\limits_l\,\mid f(g_l)>\,\mathcal{P}rob(g_l)\,<f(g_l)\mid$$

$$\rho_F=\sum\limits_{i,j,l}\,\frac{1}{\sqrt{N}}\,h_{il}\,\mid f^i>\,N\,<f^j\mid \,h^*_{jl}\,\frac{1}{\sqrt{N}}$$

$$\rho_F=\sum\limits_{i,j,l}\,\mid f^i>\,h_{il}\,h^*_{jl}\,<f^j\mid$$

On retrouve bien la même expression que précédemment.

Ainsi le fait d'effectuer (ou de ne pas effectuer) les mesures de telles ou telles observables sur le système $G$ est sans effet sur les observations sur le système $F$ . On pourrait peut-être encore penser que l'on pourrait faire usage des résultats de mesure de $G$ eux-mêmes, pour agir sur les observations faites sur $F$ . Ce serait oublier que les résultats de mesure sont aléatoires.

En effet, par exemple, en utilisant le dispositif E.P.R., on sait que si :

$$s_{xG}=+\frac{\hbar}{2}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathrm{alors}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~s_{xF}=-\frac{\hbar}{2}$$

mais pour transmettre un message, il faudrait que $G$ puisse choisir à volonté ses résultats de mesure successifs : $+,-,+,+,\ldots$ etc, ce qu'il ne peut pas faire. Toutefois il est vrai que les deux observateurs peuvent par exemple s'accorder préalablement pour déclencher chacun un mécanisme (une horloge par exemple) quand ils obtiendront l'un et l'autre les résultats de mesure indiqués ci-dessus. Un tel signal part indifféremment de $F$ ou de $G$ et ne constitue pas un échange d'information. Un éclair lumineux émis à mi-distance de $F$ et $G$ ferait aussi bien l'affaire pour synchroniser les deux horloges et cette méthode de synchronisation est bien évidemment compatible avec la relativité.