c) Spectre non dégénéré - mixte

Une base est alors constituée de tous les vecteurs propres de $A$ les uns $\mid a_i>$ associés aux valeurs propres discrètes $a_i$ et les autres $\mid a>$ associés aux valeurs propres $a$ du spectre continu. Ces vecteurs de base sont orthonormalisés comme suit :

$$<a_i\mid a_j>=\delta_{ij}~~~<a\mid a_i>=0~~~<a^\prime\mid a>=\delta(a^\prime-a)$$

et l'expression de l'opérateur unité en résulte :

$$\mathbf{1}=\sum\limits_i \mid a_i><a_i\mid +\int_\Delta\mid a>da<a\mid$$

On pourra écrire symboliquement :

$$<a^\prime\mid a>=\delta(a^\prime,a)~~~~~ \mathbf{1}=\underset{a}{\scalebox{1.7}{S}}~\mid a><a\mid$$

$\delta(a^\prime,a)$ désignant un delta de Kronecker ou un delta de Dirac, ou même 0 , selon que $a^\prime$ et/ou $a$ appartiennent à un spectre discret ou continu.